Cho ∆ABC có trọng tâm G. khi đó vécto AB + vécto AC bằng mấy lần vécto AG.

Trước tiên, ta cần biết rằng trong tam giác ABC, trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tức là AG:GD = 2:1, BG:GE = 2:1 và CG:GF = 2:1, trong đó D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng \(\vec{AB} + \vec{AC} = 3\vec{AG}\). Ta có: \[ \vec{AB} = \vec{GB} - \vec{GA} \] \[ \vec{AC} = \vec{GC} - \vec{GA} \] Cộng hai vectơ này lại: \[ \vec{AB} + \vec{AC} = (\vec{GB} - \vec{GA}) + (\vec{GC} - \vec{GA}) \] \[ = \vec{GB} + \vec{GC} - 2\vec{GA} \] Biết rằng G là trọng tâm của tam giác ABC, nên: \[ \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0} \] Từ đây suy ra: \[ \vec{GB} + \vec{GC} = -\vec{GA} \] Thay vào biểu thức trên: \[ \vec{AB} + \vec{AC} = -\vec{GA} - 2\vec{GA} \] \[ = -3\vec{GA} \] \[ = 3(-\vec{GA}) \] \[ = 3\vec{AG} \] Vậy, \(\vec{AB} + \vec{AC} = 3\vec{AG}\).