Câu 2:
a) Ta thấy phương trình có thể viết lại dưới dạng:
Phương trình này không thể là phương trình đường tròn vì bán kính vuông bình phương phải là số dương. Do đó, khẳng định này là đúng.
b) Ta thấy phương trình có thể viết lại dưới dạng:
Phương trình này là phương trình đường tròn tâm là điểm và bán kính . Do đó, khẳng định này là đúng.
c) Ta thấy phương trình có thể viết lại dưới dạng:
Phương trình này là phương trình đường tròn tâm là điểm và bán kính . Do đó, khẳng định này là sai.
d) Ta thấy phương trình là phương trình đường tròn tâm là điểm và bán kính . Do đó, khẳng định này là sai.
Đáp số:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Câu 3:
a) Số cặp số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 2 chấm là: (1;3), (2;4), (3;5), (4;6), (3;1), (4;2), (5;3), (6;4). Vậy xác suất là
b) Số cặp số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc có tích chia hết cho 5 là: (1;5), (2;5), (3;5), (4;5), (5;5), (6;5), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;6). Vậy xác suất là
c) Số cặp số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc có tích là số chẵn là: (1;2), (1;4), (1;6), (2;2), (2;4), (2;6), (3;2), (3;4), (3;6), (4;2), (4;4), (4;6), (5;2), (5;4), (5;6), (6;2), (6;4), (6;6), (2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4;5), (6;1), (6;3), (6;5). Vậy xác suất là
d) Số cặp số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc có tổng là số lẻ là: (1;2), (1;4), (1;6), (2;1), (2;3), (2;5), (3;2), (3;4), (3;6), (4;1), (4;3), (4;5), (5;2), (5;4), (5;6), (6;1), (6;3), (6;5). Vậy xác suất là
Câu 4:
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến là:
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là .
Áp dụng vào bài toán:
b) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua N và có vectơ chỉ phương là:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:
Áp dụng vào bài toán:
c) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua N và có vectơ pháp tuyến là:
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là:
Áp dụng vào bài toán:
d) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ phương là:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:
Áp dụng vào bài toán:
Đáp án đúng là:
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến là
b) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua N và có vectơ chỉ phương là
c) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua N và có vectơ pháp tuyến là
d) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và có vectơ chỉ phương là
Câu 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các thông số của elip.
2. Tìm tọa độ của hai tiêu điểm và .
3. Áp dụng điều kiện để tìm tọa độ điểm .
Bước 1: Xác định các thông số của elip.
Phương trình chính tắc của elip là:
Từ đây, ta nhận thấy rằng và . Do đó:
Bước 2: Tìm tọa độ của hai tiêu điểm và .
Trong elip, khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là , được tính bằng công thức:
Vì vậy, tọa độ của hai tiêu điểm là:
Bước 3: Áp dụng điều kiện để tìm tọa độ điểm .
Gọi tọa độ của điểm là . Ta có:
Theo đề bài, ta có:
Ta sẽ bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai:
Bình phương thêm một lần nữa:
Sau khi giản ước và sắp xếp lại, ta nhận thấy rằng phương trình này khá phức tạp để giải trực tiếp. Tuy nhiên, ta có thể dựa vào tính chất của elip và điều kiện để suy ra rằng điểm nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và song song với trục .
Do đó, ta thử các giá trị và vào phương trình elip để tìm .
Thử :
Vậy tọa độ của điểm là hoặc .
Đáp số: hoặc .
Câu 2:
Để viết phương trình chính tắc của đường hypebol (H) có một tiêu điểm là và đi qua điểm , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định các thông số cơ bản:
- Tiêu điểm nằm trên trục Ox, do đó tâm của hypebol là gốc tọa độ O(0,0).
- Điểm cũng nằm trên trục Ox, do đó nó là đỉnh của hypebol.
2. Xác định khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm và từ tâm đến đỉnh:
- Khoảng cách từ tâm O(0,0) đến tiêu điểm là .
- Khoảng cách từ tâm O(0,0) đến đỉnh là .
3. Tính khoảng cách từ tâm đến đường thẳng chính tắc:
- Ta biết rằng trong hypebol, . Thay các giá trị đã biết vào:
4. Viết phương trình chính tắc của hypebol:
- Phương trình chính tắc của hypebol có tâm tại gốc tọa độ, trục tiêu song song với trục Ox là:
- Thay và vào phương trình:
Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol (H) là:
Câu 3:
Để tìm tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tọa độ của đỉnh C:
- Đỉnh C thuộc đường thẳng . Do đó, tọa độ của C có dạng .
2. Tìm tọa độ của trọng tâm G:
- Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ được tính theo công thức:
- Thay tọa độ của A, B và C vào:
3. Thay tọa độ của G vào phương trình đường thẳng :
- Ta có:
- Rút gọn:
4. Tìm tọa độ của trọng tâm G:
- Thay vào tọa độ của G:
Vậy tọa độ của trọng tâm G là .
Câu 4:
Phương trình cho mặt cắt của gương là . Đây là phương trình của một hypebol với trục thực nằm trên trục Ox.
Trong đó:
- nên
- nên
Ta tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi tiêu điểm F1 và F2 bằng công thức :
Vì tâm quang học của máy ảnh được đặt tại một tiêu điểm của gương, khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương sẽ là khoảng cách từ tâm O đến đỉnh A của hypebol, cộng thêm khoảng cách từ tâm O đến tiêu điểm F.
Khoảng cách từ tâm O đến đỉnh A là .
Do đó, khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương là:
Đáp số:
Câu 5:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp kết hợp để tính số tam giác có thể tạo thành từ các điểm trên hai đường thẳng song song.
Bước 1: Xác định số điểm trên mỗi đường thẳng.
- Trên đường thẳng d có 10 điểm.
- Trên đường thẳng d' có 15 điểm.
Bước 2: Xác định số cách chọn 2 điểm từ 10 điểm trên đường thẳng d và 1 điểm từ 15 điểm trên đường thẳng d'.
- Số cách chọn 2 điểm từ 10 điểm trên đường thẳng d là:
- Số cách chọn 1 điểm từ 15 điểm trên đường thẳng d' là:
Bước 3: Tính tổng số tam giác có thể tạo thành từ các điểm trên cả hai đường thẳng.
- Số tam giác có thể tạo thành từ 2 điểm trên đường thẳng d và 1 điểm trên đường thẳng d' là:
Bước 4: Xác định số cách chọn 2 điểm từ 15 điểm trên đường thẳng d' và 1 điểm từ 10 điểm trên đường thẳng d.
- Số cách chọn 2 điểm từ 15 điểm trên đường thẳng d' là:
- Số cách chọn 1 điểm từ 10 điểm trên đường thẳng d là:
Bước 5: Tính tổng số tam giác có thể tạo thành từ các điểm trên cả hai đường thẳng.
- Số tam giác có thể tạo thành từ 2 điểm trên đường thẳng d' và 1 điểm trên đường thẳng d là:
Bước 6: Cộng tổng số tam giác từ cả hai trường hợp.
- Tổng số tam giác là:
Vậy, số tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm nói trên là 1725.
Câu 6:
Để tìm tọa độ các điểm B và C thuộc elip sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ tâm I và các điểm A, B, C:
- Tâm I có tọa độ là .
- Điểm A có tọa độ là .
- Các điểm B và C thuộc elip , do đó chúng phải thỏa mãn phương trình .
2. Tìm tọa độ điểm B và C:
- Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên đoạn thẳng IA sẽ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- Độ dài đoạn thẳng IA là:
- Do đó, các điểm B và C cũng phải cách điểm I một khoảng bằng 2 đơn vị.
3. Xác định tọa độ điểm B và C:
- Ta giả sử tọa độ của điểm B là và tọa độ của điểm C là .
- Vì B và C thuộc elip , nên chúng phải thỏa mãn phương trình .
- Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên khoảng cách từ I đến B và từ I đến C đều bằng 2:
4. Giải hệ phương trình:
- Ta có hai phương trình:
- Tương tự cho điểm C:
5. Giải phương trình để tìm tọa độ B và C:
- Ta giải phương trình :
- Kết hợp với phương trình , ta có:
- Thay vào phương trình trên:
- Giải phương trình bậc hai này:
- Ta loại vì điểm A đã có tọa độ .
- Vậy . Thay vào phương trình :
- Vậy tọa độ của điểm B là hoặc .
- Tương tự, tọa độ của điểm C là hoặc .
Vậy tọa độ các điểm B và C là và .