công thức giải bất phương trình

Question

Accepted Answer

Để giải bất phương trình, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Đối với các bất phương trình chứa phân thức, căn thức, hoặc các biểu thức khác có thể gây ra các vấn đề về định nghĩa, ta cần xác định điều kiện để các biểu thức này có nghĩa.

2. Rearrange the inequality to standard form:
   - Đưa tất cả các hạng tử về một vế để bất phương trình có dạng $ f(x) > 0 $ hoặc $ f(x) < 0 $.

3. Tìm nghiệm của phương trình tương ứng:
   - Giải phương trình $ f(x) = 0 $ để tìm các điểm làm thay đổi dấu của $ f(x) $. Các nghiệm của phương trình này sẽ là các điểm chia khoảng trên trục số.

4. Xét dấu của biểu thức $ f(x) $:
   - Lập bảng xét dấu của $ f(x) $ dựa trên các nghiệm đã tìm được ở bước 3. Ta chia trục số thành các khoảng dựa trên các nghiệm và kiểm tra dấu của $ f(x) $ trong mỗi khoảng.

5. Lựa chọn khoảng thỏa mãn bất phương trình:
   - Dựa vào bảng xét dấu, lựa chọn các khoảng thỏa mãn điều kiện của bất phương trình ban đầu.

6. Kiểm tra điều kiện xác định:
   - Kiểm tra lại các nghiệm và khoảng đã chọn để đảm bảo chúng thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu.

7. Viết kết luận:
   - Ghi rõ các nghiệm hoặc khoảng thỏa mãn bất phương trình.

Ví dụ minh họa

Giải bất phương trình: $ \frac{x+1}{x-2} > 0 $

1. Xác định điều kiện xác định:
   - $ x \neq 2 $ vì mẫu số không được phép bằng 0.

2. Rearrange the inequality to standard form:
   - Bất phương trình đã ở dạng chuẩn $ \frac{x+1}{x-2} > 0 $.

3. Tìm nghiệm của phương trình tương ứng:
   - Giải phương trình $ \frac{x+1}{x-2} = 0 $:
     $$
     x + 1 = 0 \implies x = -1
     $$
   - Nghiệm của phương trình là $ x = -1 $.

4. Xét dấu của biểu thức $ \frac{x+1}{x-2} $:
   - Lập bảng xét dấu:
     $$
     \begin{array}{c|ccc}
       x & (-\infty, -1) & (-1, 2) & (2, \infty) \
       \hline
       x+1 & - & + & + \
       x-2 & - & - & + \
       \frac{x+1}{x-2} & + & - & + \
     \end{array}
     $$

5. Lựa chọn khoảng thỏa mãn bất phương trình:
   - Bất phương trình $ \frac{x+1}{x-2} > 0 $ thỏa mãn khi $ \frac{x+1}{x-2} $ dương.
   - Vậy các khoảng thỏa mãn là $ (-\infty, -1) $ và $ (2, \infty) $.

6. Kiểm tra điều kiện xác định:
   - Điều kiện $ x \neq 2 $ đã được đảm bảo trong quá trình lập bảng xét dấu.

7. Viết kết luận:
   - Nghiệm của bất phương trình là $ x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty) $.

Đáp số: $ x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty) $.