Cho các số thực dương a, b thỏa a + b = 1. Tìm min của $P=\left(1-\frac{1}{a^2}\right)\left(1-\frac{1}{b^2}\right)$.

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = \left(1 - \frac{1}{a^2}\right)\left(1 - \frac{1}{b^2}\right) $ với điều kiện $ a + b = 1 $ và $ a, b > 0 $, chúng ta sẽ làm như sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   Vì $ a $ và $ b $ là các số thực dương, nên $ a > 0 $ và $ b > 0 $. Điều này đảm bảo rằng $ a^2 > 0 $ và $ b^2 > 0 $, từ đó $ \frac{1}{a^2} $ và $ \frac{1}{b^2} $ đều có nghĩa.

2. Biến đổi biểu thức $ P $:
   Ta có:
   $$
   P = \left(1 - \frac{1}{a^2}\right)\left(1 - \frac{1}{b^2}\right)
   $$
   Biến đổi tiếp:
   $$
   P = 1 - \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2 b^2}
   $$

3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
   Ta biết rằng $ a + b = 1 $. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho $ a $ và $ b $:
   $$
   (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)
   $$
   Thay $ a + b = 1 $ vào:
   $$
   1 \leq 2(a^2 + b^2) \implies a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}
   $$

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} $:
   Ta có:
   $$
   \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}
   $$
   Do $ a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} $, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ \frac{1}{a^2 b^2} $.

5. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
   Ta có:
   $$
   ab \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
   $$
   Suy ra:
   $$
   a^2 b^2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}
   $$
   Vậy:
   $$
   \frac{1}{a^2 b^2} \geq 16
   $$

6. Tính giá trị nhỏ nhất của $ P $:
   Thay vào biểu thức $ P $:
   $$
   P = 1 - \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2 b^2}
   $$
   Ta thấy:
   $$
   \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq 8 \quad \text{(vì $ a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} $)}
   $$
   Do đó:
   $$
   P \geq 1 - 8 + 16 = 9
   $$

7. Kiểm tra điều kiện đạt giá trị nhỏ nhất:
   Đẳng thức xảy ra khi $ a = b = \frac{1}{2} $.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là 9, đạt được khi $ a = b = \frac{1}{2} $.

Đáp số: $ P_{\text{min}} = 9 $ khi $ a = b = \frac{1}{2} $.