Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \left(1 - \frac{1}{a^2}\right)\left(1 - \frac{1}{b^2}\right) \) với điều kiện \( a + b = 1 \) và \( a, b > 0 \), chúng ta sẽ làm như sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Vì \( a \) và \( b \) là các số thực dương, nên \( a > 0 \) và \( b > 0 \). Điều này đảm bảo rằng \( a^2 > 0 \) và \( b^2 > 0 \), từ đó \( \frac{1}{a^2} \) và \( \frac{1}{b^2} \) đều có nghĩa.
2. Biến đổi biểu thức \( P \):
Ta có:
\[
P = \left(1 - \frac{1}{a^2}\right)\left(1 - \frac{1}{b^2}\right)
\]
Biến đổi tiếp:
\[
P = 1 - \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2 b^2}
\]
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Ta biết rằng \( a + b = 1 \). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( a \) và \( b \):
\[
(a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)
\]
Thay \( a + b = 1 \) vào:
\[
1 \leq 2(a^2 + b^2) \implies a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}
\]
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \):
Ta có:
\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2}
\]
Do \( a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{1}{a^2 b^2} \).
5. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
Ta có:
\[
ab \leq \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]
Suy ra:
\[
a^2 b^2 \leq \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}
\]
Vậy:
\[
\frac{1}{a^2 b^2} \geq 16
\]
6. Tính giá trị nhỏ nhất của \( P \):
Thay vào biểu thức \( P \):
\[
P = 1 - \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2 b^2}
\]
Ta thấy:
\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq 8 \quad \text{(vì \( a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2} \))}
\]
Do đó:
\[
P \geq 1 - 8 + 16 = 9
\]
7. Kiểm tra điều kiện đạt giá trị nhỏ nhất:
Đẳng thức xảy ra khi \( a = b = \frac{1}{2} \).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 9, đạt được khi \( a = b = \frac{1}{2} \).
Đáp số: \( P_{\text{min}} = 9 \) khi \( a = b = \frac{1}{2} \).
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5(0 đánh giá)
0
0 bình luận
Bình luận
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.