Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 1:,Cho hàm số $y=\frac{x^3-3x+1}{x^2+1}.$,Tìm tất cả giá trị thực của tham số m,để hàm số,$y=\frac{x^3-3x+1}{x^2+1}+m\ln(x^2+1)$,có đúng một điểm cực đại.,Câu 2:,Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị,$y=\sqrt x,$ trục hoành và đường thẳng,$x=a$ với $a0.$,Tìm a để diện tích hình phẳng bằng 3,lần độ dài đoạn thẳng từ điểm (0, 0),đến điểm $(a,\sqrt a).$

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 1:,Cho hàm số $y=\frac{x^3-3x+1}{x^2+1}.$,Tìm tất cả giá trị thực của tham số m,để hàm số,$y=\frac{x^3-3x+1}{x^2+1}+m\ln(x^2+1)$,có đúng một điểm cực đại.,Câu 2:,Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị,$y=\sqrt x,$ trục hoành và đường thẳng,$x=a$ với $a>0.$,Tìm a để diện tích hình phẳng bằng 3,lần độ dài đoạn thẳng từ điểm (0, 0),đến điểm $(a,\sqrt a).$

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm giá trị thực của tham số $ m $ sao cho hàm số $ y = \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 + 1} + m \ln(x^2 + 1) $ có đúng một điểm cực đại, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = \left( \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 + 1} \right)' + m \left( \ln(x^2 + 1) \right)'
   $$
   Ta tính đạo hàm từng thành phần:
   $$
   \left( \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 + 1} \right)' = \frac{(x^3 - 3x + 1)'(x^2 + 1) - (x^3 - 3x + 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2}
   $$
   $$
   = \frac{(3x^2 - 3)(x^2 + 1) - (x^3 - 3x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
   $$
   $$
   = \frac{3x^4 + 3x^2 - 3x^2 - 3 - 2x^4 + 6x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2}
   $$
   $$
   = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x - 3}{(x^2 + 1)^2}
   $$

Đạo hàm của $ \ln(x^2 + 1) $:
   $$
   \left( \ln(x^2 + 1) \right)' = \frac{2x}{x^2 + 1}
   $$

Kết hợp lại:
   $$
   y' = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x - 3}{(x^2 + 1)^2} + m \cdot \frac{2x}{x^2 + 1}
   $$
   $$
   = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x - 3 + 2mx(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2}
   $$
   $$
   = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x - 3 + 2mx^3 + 2mx}{(x^2 + 1)^2}
   $$
   $$
   = \frac{x^4 + 2mx^3 + 6x^2 + (2m - 2)x - 3}{(x^2 + 1)^2}
   $$

2. Xét dấu đạo hàm $ y' $:
   Để hàm số có đúng một điểm cực đại, đạo hàm $ y' $ phải đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm duy nhất. Điều này xảy ra khi phân tử của $ y' $ có đúng một nghiệm thực.

Ta xét phương trình:
   $$
   x^4 + 2mx^3 + 6x^2 + (2m - 2)x - 3 = 0
   $$

3. Phân tích phương trình:
   Để phương trình $ x^4 + 2mx^3 + 6x^2 + (2m - 2)x - 3 = 0 $ có đúng một nghiệm thực, ta cần xem xét các trường hợp đặc biệt hoặc sử dụng các phương pháp phân tích đa thức.

Ta thử nghiệm với $ m = 0 $:
   $$
   x^4 + 6x^2 - 3 = 0
   $$
   Đây là phương trình bậc bốn, khó kiểm tra trực tiếp. Ta thử nghiệm với $ m = 1 $:
   $$
   x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 0x - 3 = 0
   $$
   $$
   x^4 + 2x^3 + 6x^2 - 3 = 0
   $$
   Ta thấy rằng phương trình này có nghiệm $ x = -1 $.

Kiểm tra đạo hàm tại $ x = -1 $:
   $$
   y'(-1) = \frac{(-1)^4 + 2(-1)^3 + 6(-1)^2 + (2 - 2)(-1) - 3}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{1 - 2 + 6 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
   $$

Do đó, đạo hàm $ y' $ đổi dấu từ dương sang âm tại $ x = -1 $, hàm số có đúng một điểm cực đại.

Kết luận:
Giá trị của tham số $ m $ để hàm số $ y = \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 + 1} + m \ln(x^2 + 1) $ có đúng một điểm cực đại là $ m = 1 $.

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $ y = \sqrt{x} $, trục hoành và đường thẳng $ x = a $:
   Diện tích $ S $ của hình phẳng này có thể tính bằng công thức tích phân:
   $$
   S = \int_{0}^{a} \sqrt{x} \, dx
   $$
   Tính tích phân:
   $$
   S = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{a} = \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}}
   $$

2. Tìm độ dài đoạn thẳng từ điểm (0, 0) đến điểm $(a, \sqrt{a})$:
   Độ dài đoạn thẳng này là:
   $$
   d = \sqrt{(a - 0)^2 + (\sqrt{a} - 0)^2} = \sqrt{a^2 + a}
   $$

3. Theo đề bài, diện tích hình phẳng bằng 3 lần độ dài đoạn thẳng:
   $$
   \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}} = 3 \sqrt{a^2 + a}
   $$

4. Giải phương trình:
   Nhân cả hai vế với 3:
   $$
   2 a^{\frac{3}{2}} = 9 \sqrt{a^2 + a}
   $$
   Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai:
   $$
   (2 a^{\frac{3}{2}})^2 = (9 \sqrt{a^2 + a})^2
   $$
   $$
   4 a^3 = 81 (a^2 + a)
   $$
   $$
   4 a^3 = 81 a^2 + 81 a
   $$
   Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
   $$
   4 a^3 - 81 a^2 - 81 a = 0
   $$
   Factor out $ a $:
   $$
   a (4 a^2 - 81 a - 81) = 0
   $$
   Vì $ a > 0 $, ta có:
   $$
   4 a^2 - 81 a - 81 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
   $$
   a = \frac{-(-81) \pm \sqrt{(-81)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-81)}}{2 \cdot 4}
   $$
   $$
   a = \frac{81 \pm \sqrt{6561 + 1296}}{8}
   $$
   $$
   a = \frac{81 \pm \sqrt{7857}}{8}
   $$
   $$
   a = \frac{81 \pm 88.64}{8}
   $$
   Ta có hai nghiệm:
   $$
   a_1 = \frac{81 + 88.64}{8} = \frac{169.64}{8} = 21.205
   $$
   $$
   a_2 = \frac{81 - 88.64}{8} = \frac{-7.64}{8} = -0.955
   $$
   Vì $ a > 0 $, ta chọn nghiệm dương:
   $$
   a = 21.205
   $$

Vậy giá trị của $ a $ là $ 21.205 $.

Đáp số: $ a = 21.205 $