Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 1: Để tìm giá trị thực của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 + 1} + m \ln(x^2 + 1) \) có đúng một điểm cực đại, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 + 1} \right)' + m \left( \ln(x^2 + 1) \right)' \] Ta tính đạo hàm từng thành phần: \[ \left( \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 + 1} \right)' = \frac{(x^3 - 3x + 1)'(x^2 + 1) - (x^3 - 3x + 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} \] \[ = \frac{(3x^2 - 3)(x^2 + 1) - (x^3 - 3x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ = \frac{3x^4 + 3x^2 - 3x^2 - 3 - 2x^4 + 6x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} \] \[ = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x - 3}{(x^2 + 1)^2} \] Đạo hàm của \( \ln(x^2 + 1) \): \[ \left( \ln(x^2 + 1) \right)' = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Kết hợp lại: \[ y' = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x - 3}{(x^2 + 1)^2} + m \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} \] \[ = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x - 3 + 2mx(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ = \frac{x^4 + 6x^2 - 2x - 3 + 2mx^3 + 2mx}{(x^2 + 1)^2} \] \[ = \frac{x^4 + 2mx^3 + 6x^2 + (2m - 2)x - 3}{(x^2 + 1)^2} \] 2. Xét dấu đạo hàm \( y' \): Để hàm số có đúng một điểm cực đại, đạo hàm \( y' \) phải đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm duy nhất. Điều này xảy ra khi phân tử của \( y' \) có đúng một nghiệm thực. Ta xét phương trình: \[ x^4 + 2mx^3 + 6x^2 + (2m - 2)x - 3 = 0 \] 3. Phân tích phương trình: Để phương trình \( x^4 + 2mx^3 + 6x^2 + (2m - 2)x - 3 = 0 \) có đúng một nghiệm thực, ta cần xem xét các trường hợp đặc biệt hoặc sử dụng các phương pháp phân tích đa thức. Ta thử nghiệm với \( m = 0 \): \[ x^4 + 6x^2 - 3 = 0 \] Đây là phương trình bậc bốn, khó kiểm tra trực tiếp. Ta thử nghiệm với \( m = 1 \): \[ x^4 + 2x^3 + 6x^2 + 0x - 3 = 0 \] \[ x^4 + 2x^3 + 6x^2 - 3 = 0 \] Ta thấy rằng phương trình này có nghiệm \( x = -1 \). Kiểm tra đạo hàm tại \( x = -1 \): \[ y'(-1) = \frac{(-1)^4 + 2(-1)^3 + 6(-1)^2 + (2 - 2)(-1) - 3}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{1 - 2 + 6 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Do đó, đạo hàm \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = -1 \), hàm số có đúng một điểm cực đại. Kết luận: Giá trị của tham số \( m \) để hàm số \( y = \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 + 1} + m \ln(x^2 + 1) \) có đúng một điểm cực đại là \( m = 1 \). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \( y = \sqrt{x} \), trục hoành và đường thẳng \( x = a \): Diện tích \( S \) của hình phẳng này có thể tính bằng công thức tích phân: \[ S = \int_{0}^{a} \sqrt{x} \, dx \] Tính tích phân: \[ S = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{a} = \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}} \] 2. Tìm độ dài đoạn thẳng từ điểm (0, 0) đến điểm \((a, \sqrt{a})\): Độ dài đoạn thẳng này là: \[ d = \sqrt{(a - 0)^2 + (\sqrt{a} - 0)^2} = \sqrt{a^2 + a} \] 3. Theo đề bài, diện tích hình phẳng bằng 3 lần độ dài đoạn thẳng: \[ \frac{2}{3} a^{\frac{3}{2}} = 3 \sqrt{a^2 + a} \] 4. Giải phương trình: Nhân cả hai vế với 3: \[ 2 a^{\frac{3}{2}} = 9 \sqrt{a^2 + a} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (2 a^{\frac{3}{2}})^2 = (9 \sqrt{a^2 + a})^2 \] \[ 4 a^3 = 81 (a^2 + a) \] \[ 4 a^3 = 81 a^2 + 81 a \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 4 a^3 - 81 a^2 - 81 a = 0 \] Factor out \( a \): \[ a (4 a^2 - 81 a - 81) = 0 \] Vì \( a > 0 \), ta có: \[ 4 a^2 - 81 a - 81 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ a = \frac{-(-81) \pm \sqrt{(-81)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-81)}}{2 \cdot 4} \] \[ a = \frac{81 \pm \sqrt{6561 + 1296}}{8} \] \[ a = \frac{81 \pm \sqrt{7857}}{8} \] \[ a = \frac{81 \pm 88.64}{8} \] Ta có hai nghiệm: \[ a_1 = \frac{81 + 88.64}{8} = \frac{169.64}{8} = 21.205 \] \[ a_2 = \frac{81 - 88.64}{8} = \frac{-7.64}{8} = -0.955 \] Vì \( a > 0 \), ta chọn nghiệm dương: \[ a = 21.205 \] Vậy giá trị của \( a \) là \( 21.205 \). Đáp số: \( a = 21.205 \)