Hsaaassssss

Câu 8: Để kiểm tra các đẳng thức đã cho, ta sẽ sử dụng tính chất cộng của vectơ trong hình học. A. $\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC'}$ - Ta có $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}$ - Ta cũng có $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$ - Do đó, $\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}) + (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}$ không bằng $\overrightarrow{AC'}$, vì $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}$. B. $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AC'}$ - Ta có $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ - Ta cũng có $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}$ - Do đó, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BB'} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$ C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Ta có $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ - Ta cũng có $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ - Ta thấy rằng $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$, vì $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. D. $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'}$ - Ta có $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ - Ta cũng có $\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'}$ - Do đó, $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CC'} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ Như vậy, đẳng thức sai là: A. $\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC'}$ Đáp án đúng là: A. Câu 9: Để tìm số lượng các vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ mà mỗi vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD, chúng ta cần xem xét tất cả các cặp đỉnh có thể tạo thành các vectơ này. Tứ diện ABCD có 4 đỉnh: A, B, C và D. Mỗi đỉnh có thể là điểm đầu hoặc điểm cuối của một vectơ. Tuy nhiên, vectơ $\overrightarrow{AA}$, $\overrightarrow{BB}$, $\overrightarrow{CC}$ và $\overrightarrow{DD}$ đều là vectơ $\overrightarrow{0}$, nên chúng ta loại bỏ các trường hợp này. Số lượng các cặp đỉnh (không tính các cặp trùng nhau) là: - Từ đỉnh A, ta có thể tạo các vectơ với các đỉnh còn lại: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$. (3 vectơ) - Từ đỉnh B, ta có thể tạo các vectơ với các đỉnh còn lại: $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BD}$. (3 vectơ) - Từ đỉnh C, ta có thể tạo các vectơ với các đỉnh còn lại: $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$. (3 vectơ) - Từ đỉnh D, ta có thể tạo các vectơ với các đỉnh còn lại: $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{DC}$. (3 vectơ) Như vậy, tổng cộng có: \[ 3 + 3 + 3 + 3 = 12 \text{ vectơ} \] Vậy đáp án đúng là: A. 12. Câu 10: Để xác định hàm số của đường cong đã cho, ta sẽ kiểm tra từng hàm số một. A. \( y = x^3 - 3x + 2 \) B. \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) C. \( y = x^3 - 6x + 2 \) D. \( y = -x^3 + 3x^2 + 2 \) Ta sẽ kiểm tra điểm \( x = 0 \) để xác định giá trị của hàm số tại điểm này: - Với \( x = 0 \): - \( y = 0^3 - 3(0) + 2 = 2 \) - \( y = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 \) - \( y = 0^3 - 6(0) + 2 = 2 \) - \( y = -(0)^3 + 3(0)^2 + 2 = 2 \) Như vậy, tất cả các hàm số đều có giá trị \( y = 2 \) khi \( x = 0 \). Để tiếp tục xác định hàm số đúng, ta sẽ kiểm tra các điểm khác trên đồ thị. Ta sẽ kiểm tra điểm \( x = 1 \): - Với \( x = 1 \): - \( y = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \) - \( y = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \) - \( y = 1^3 - 6(1) + 2 = 1 - 6 + 2 = -3 \) - \( y = -(1)^3 + 3(1)^2 + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \) Như vậy, chỉ có hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) và \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) có giá trị \( y = 0 \) khi \( x = 1 \). Tiếp theo, ta sẽ kiểm tra điểm \( x = -1 \): - Với \( x = -1 \): - \( y = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \) - \( y = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \) Như vậy, chỉ có hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) có giá trị \( y = 4 \) khi \( x = -1 \). Do đó, hàm số của đường cong đã cho là \( y = x^3 - 3x + 2 \). Đáp án đúng là: A. \( y = x^3 - 3x + 2 \) Câu 11: Để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ với trục Ox, ta cần tìm các giá trị của $x$ sao cho $y = 0$. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Trong trường hợp này, hàm số là đa thức nên ĐKXĐ là $x \in \mathbb{R}$. Bước 2: Giải phương trình $y = 0$ Ta có: \[ x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \] Bước 3: Rút gọn phương trình \[ x(x^2 - 3x + 2) = 0 \] \[ x(x - 1)(x - 2) = 0 \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 5: Kết luận Hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ có ba giá trị $x$ thỏa mãn $y = 0$, cụ thể là $x = 0$, $x = 1$, và $x = 2$. Do đó, đồ thị hàm số có 3 giao điểm với trục Ox. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 12: Để tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A và B, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm M: Vì điểm M nằm trên trục Ox, nên tọa độ của M sẽ có dạng $(x, 0, 0)$. 2. Tính khoảng cách từ M đến A: Khoảng cách từ M đến A là: \[ MA = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4 + 1} = \sqrt{(x - 1)^2 + 5} \] 3. Tính khoảng cách từ M đến B: Khoảng cách từ M đến B là: \[ MB = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 1 + 4} = \sqrt{(x - 2)^2 + 5} \] 4. Đặt điều kiện MA = MB: Vì M cách đều hai điểm A và B, ta có: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + 5} = \sqrt{(x - 2)^2 + 5} \] Bỏ căn bậc hai ở cả hai vế: \[ (x - 1)^2 + 5 = (x - 2)^2 + 5 \] Bỏ 5 ở cả hai vế: \[ (x - 1)^2 = (x - 2)^2 \] Ta có: \[ x^2 - 2x + 1 = x^2 - 4x + 4 \] Chuyển tất cả về một vế: \[ x^2 - 2x + 1 - x^2 + 4x - 4 = 0 \] Rút gọn: \[ 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình: \[ 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \] 5. Kết luận: Tọa độ điểm M là $\left(\frac{3}{2}, 0, 0\right)$. Vậy đáp án đúng là: C. $M\left(\frac{3}{2}, 0, 0\right)$. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích từng phần của đồ thị hàm số $y = f'(x)$ và suy ra các tính chất của hàm số $y = f(x)$. a) Trên đoạn $[-1;2]$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ là $f(0).$ - Đồ thị của $y = f'(x)$ cho thấy: - Từ $x = -1$ đến $x = 0$, $f'(x) < 0$, tức là $f(x)$ nghịch biến. - Từ $x = 0$ đến $x = 1$, $f'(x) > 0$, tức là $f(x)$ đồng biến. - Từ $x = 1$ đến $x = 2$, $f'(x) < 0$, tức là $f(x)$ nghịch biến. Do đó, tại điểm $x = 0$, hàm số $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[-1;2]$. Vậy khẳng định này đúng. b) $f(0) > f(1) > f(2).$ - Từ $x = 0$ đến $x = 1$, $f'(x) > 0$, tức là $f(x)$ đồng biến, do đó $f(0) < f(1)$. - Từ $x = 1$ đến $x = 2$, $f'(x) < 0$, tức là $f(x)$ nghịch biến, do đó $f(1) > f(2)$. Như vậy, $f(0) < f(1) > f(2)$. Khẳng định này sai. c) Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(2;+\infty)$ - Đồ thị của $y = f'(x)$ cho thấy từ $x = 2$ trở đi, $f'(x) > 0$, tức là $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$. Khẳng định này đúng. d) Hàm số $y=f(x)$ có ba cực trị. - Đồ thị của $y = f'(x)$ cho thấy: - Tại $x = 0$, $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương, tức là $f(x)$ có cực tiểu tại $x = 0$. - Tại $x = 1$, $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm, tức là $f(x)$ có cực đại tại $x = 1$. - Tại $x = 2$, $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương, tức là $f(x)$ có cực tiểu tại $x = 2$. Như vậy, hàm số $y = f(x)$ có ba cực trị. Khẳng định này đúng. Kết luận: - Đáp án đúng là: a, c, d. Câu 2. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. a) Hàm số $y=f(x)$ đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;2).$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x - 2)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}. \] Trên khoảng $(0;2)$, ta thấy rằng $f'(x) < 0$ vì $x > 0$ và $x - 2 < 0$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy khẳng định này là đúng. b) Đường tiệm cận xiên của (C) có phương trình là $y=x+3.$ Ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + 2x - 2}{x - 1} = x + 3 + \frac{1}{x - 1}. \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{x - 1} \to 0$, vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị là $y = x + 3$. Vậy khẳng định này là đúng. c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[2;4]$ bằng $\frac{13}{2}.$ Trên đoạn $[2;4]$, ta thấy rằng $f'(x) > 0$ vì $x > 2$. Do đó, hàm số đồng biến trên đoạn này. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;4]$ sẽ là giá trị của hàm số tại điểm đầu đoạn, tức là $x = 2$: \[ f(2) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 - 2}{2 - 1} = \frac{4 + 4 - 2}{1} = 6. \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;4]$ là 6, không phải $\frac{13}{2}$. Vậy khẳng định này là sai. d) Có 3 số nguyên dương m để hàm số $y=\frac{x^2+2x-m}{x-1}$ có hai điểm cực trị. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số mới: \[ g'(x) = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x - m)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 - 2x + m}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + m - 2}{(x - 1)^2}. \] Để hàm số có hai điểm cực trị, phương trình $g'(x) = 0$ phải có hai nghiệm thực khác nhau: \[ x^2 - 2x + m - 2 = 0. \] Phương trình này có hai nghiệm thực khác nhau khi: \[ \Delta = (-2)^2 - 4(m - 2) > 0 \Rightarrow 4 - 4m + 8 > 0 \Rightarrow 12 - 4m > 0 \Rightarrow m < 3. \] Vì $m$ là số nguyên dương, nên $m$ có thể là 1 hoặc 2. Vậy có 2 số nguyên dương m thỏa mãn điều kiện, không phải 3. Vậy khẳng định này là sai. Tóm lại: - a) Đúng. - b) Đúng. - c) Sai. - d) Sai. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết các kích thước cụ thể của kho chứa hàng. Tuy nhiên, giả sử rằng chúng ta đã biết các kích thước của các cạnh và chiều cao của hình lăng trụ đứng. Chúng ta sẽ tiến hành giải quyết từng bước như sau: 1. Xác định các kích thước: Giả sử: - Chiều dài của ABFE là \( a \) - Chiều rộng của ABFE là \( b \) - Chiều cao của lăng trụ đứng là \( h \) 2. Tính thể tích của hình lăng trụ đứng: Thể tích của hình lăng trụ đứng được tính bằng công thức: \[ V = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng là diện tích của hình chữ nhật ABFE: \[ S_{ABFE} = a \times b \] Vậy thể tích của hình lăng trụ đứng là: \[ V = a \times b \times h \] 3. Xác định vị trí của điểm T: Điểm T là trung điểm của DC, do đó T chia đoạn DC thành hai phần bằng nhau. 4. Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng: Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bao gồm diện tích của hai đáy và diện tích của các mặt bên. - Diện tích của hai đáy là: \[ 2 \times S_{ABFE} = 2 \times a \times b \] - Diện tích của các mặt bên: - Mặt ABPQ và DCGQ đều là hình chữ nhật với diện tích mỗi mặt là: \[ a \times h \] - Mặt BCPQ và ADGH đều là hình chữ nhật với diện tích mỗi mặt là: \[ b \times h \] - Mặt EFP và EHQ đều là tam giác cân với diện tích mỗi mặt là: \[ \frac{1}{2} \times b \times h \] Vậy tổng diện tích các mặt bên là: \[ 2 \times (a \times h) + 2 \times (b \times h) + 2 \times \left( \frac{1}{2} \times b \times h \right) = 2ah + 2bh + bh = 2ah + 3bh \] Tổng diện tích toàn phần là: \[ S_{\text{toàn phần}} = 2ab + 2ah + 3bh \] 5. Kết luận: - Thể tích của hình lăng trụ đứng là: \[ V = a \times b \times h \] - Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là: \[ S_{\text{toàn phần}} = 2ab + 2ah + 3bh \] Đáp số: - Thể tích: \( V = a \times b \times h \) - Diện tích toàn phần: \( S_{\text{toàn phần}} = 2ab + 2ah + 3bh \)