cứu em với ạ

Bài 9: Để chứng minh phương trình $x^2 - 2(m+1)x + m - 4 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$, ta cần kiểm tra tính chất của phương trình bậc hai này. 1. Kiểm tra điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: Phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt nếu $\Delta = b^2 - 4ac > 0$. Áp dụng vào phương trình $x^2 - 2(m+1)x + m - 4 = 0$, ta có: - $a = 1$ - $b = -2(m+1)$ - $c = m - 4$ Tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 4) \] \[ \Delta = 4(m+1)^2 - 4(m - 4) \] \[ \Delta = 4(m^2 + 2m + 1) - 4m + 16 \] \[ \Delta = 4m^2 + 8m + 4 - 4m + 16 \] \[ \Delta = 4m^2 + 4m + 20 \] Ta thấy rằng $\Delta = 4m^2 + 4m + 20$ luôn lớn hơn 0 vì $4m^2 + 4m + 20$ là tổng của các số dương (vì $4m^2$ và $20$ luôn dương, và $4m$ có thể âm hoặc dương nhưng không làm $\Delta$ nhỏ hơn 0). Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2. Chứng minh biểu thức $M = x_1(1 - x_2) + x_2(1 - x_1)$ không phụ thuộc vào $m$: Theo công thức Viète, ta có: - Tổng các nghiệm: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(m+1)$ - Tích các nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = m - 4$ Biểu thức $M$: \[ M = x_1(1 - x_2) + x_2(1 - x_1) \] \[ M = x_1 - x_1x_2 + x_2 - x_2x_1 \] \[ M = x_1 + x_2 - 2x_1x_2 \] Thay các giá trị theo công thức Viète: \[ M = 2(m+1) - 2(m - 4) \] \[ M = 2m + 2 - 2m + 8 \] \[ M = 10 \] Như vậy, biểu thức $M$ không phụ thuộc vào $m$ và luôn có giá trị là 10. Kết luận: Phương trình $x^2 - 2(m+1)x + m - 4 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt và biểu thức $M = x_1(1 - x_2) + x_2(1 - x_1)$ không phụ thuộc vào $m$ và luôn có giá trị là 10. Bài 10: a. Với $m=0$, ta có phương trình $x^2-4x=0$. Phương trình này có thể được viết lại thành $x(x-4)=0$. Do đó, các nghiệm của phương trình là $x=0$ hoặc $x=4$. b. Để phương trình $x^2+2(m-2)x-m^2=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta > 0$. Ta có: \[ \Delta = [2(m-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m^2) = 4(m-2)^2 + 4m^2 = 4(m^2 - 4m + 4 + m^2) = 4(2m^2 - 4m + 4) \] \[ \Delta = 8(m^2 - 2m + 2) \] Để $\Delta > 0$, ta cần: \[ m^2 - 2m + 2 > 0 \] Ta thấy rằng $m^2 - 2m + 2 = (m-1)^2 + 1$, luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của $m$. Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$. Theo công thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = -2(m-2) = 4 - 2m \] \[ x_1 \cdot x_2 = -m^2 \] Ta cần tìm các giá trị của $m$ sao cho $|x_1| - |x_2| = 6$. Ta xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: $x_1 \geq 0$ và $x_2 \leq 0$ \[ |x_1| - |x_2| = x_1 + x_2 = 6 \] Kết hợp với $x_1 + x_2 = 4 - 2m$, ta có: \[ 4 - 2m = 6 \implies -2m = 2 \implies m = -1 \] 2. Trường hợp 2: $x_1 \leq 0$ và $x_2 \geq 0$ \[ |x_1| - |x_2| = -x_1 - x_2 = 6 \] Kết hợp với $x_1 + x_2 = 4 - 2m$, ta có: \[ -(4 - 2m) = 6 \implies -4 + 2m = 6 \implies 2m = 10 \implies m = 5 \] Vậy các giá trị của $m$ thỏa mãn điều kiện $|x_1| - |x_2| = 6$ là $m = -1$ và $m = 5$. Bài 11: Để phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta > 0$. Ta có: \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m \] Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[ 4 - 4m > 0 \implies m < 1 \] Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = m \] Ta cần tính $A = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$. Ta có: \[ A = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 \cdot x_2} \] Biến đổi $x_1^2 + x_2^2$: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 = 2^2 - 2m = 4 - 2m \] Do đó: \[ A = \frac{4 - 2m}{m} \] Theo đề bài, ta có: \[ \frac{4 - 2m}{m} = \frac{-10}{3} \] Giải phương trình này: \[ 4 - 2m = \frac{-10}{3} \cdot m \] \[ 4 - 2m = \frac{-10m}{3} \] Nhân cả hai vế với 3 để loại mẫu: \[ 12 - 6m = -10m \] \[ 12 = -10m + 6m \] \[ 12 = -4m \] \[ m = -3 \] Kiểm tra lại điều kiện $m < 1$, ta thấy $m = -3$ thỏa mãn. Vậy giá trị của $m$ là $-3$. Bài 12: a. Với $m=4$, ta có phương trình: \[ x^2 + x - 1 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = 1$, $c = -1$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \] b. Để phương trình $x^2 + x + m - 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, điều kiện là: \[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \] \[ 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 5) > 0 \] \[ 1 - 4(m - 5) > 0 \] \[ 1 - 4m + 20 > 0 \] \[ 21 - 4m > 0 \] \[ m < \frac{21}{4} \] Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, theo định lý Viète: \[ x_1 + x_2 = -1 \] \[ x_1 x_2 = m - 5 \] Yêu cầu: \[ \frac{6 - m - x_1}{x_2} + \frac{6 - m - x_2}{x_1} = \frac{10}{3} \] Nhân cả hai vế với $x_1 x_2$: \[ (6 - m - x_1)x_1 + (6 - m - x_2)x_2 = \frac{10}{3} x_1 x_2 \] Thay $x_1 + x_2 = -1$ và $x_1 x_2 = m - 5$ vào: \[ (6 - m)x_1 - x_1^2 + (6 - m)x_2 - x_2^2 = \frac{10}{3}(m - 5) \] \[ (6 - m)(x_1 + x_2) - (x_1^2 + x_2^2) = \frac{10}{3}(m - 5) \] \[ (6 - m)(-1) - ((x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2) = \frac{10}{3}(m - 5) \] \[ -(6 - m) - ((-1)^2 - 2(m - 5)) = \frac{10}{3}(m - 5) \] \[ -(6 - m) - (1 - 2m + 10) = \frac{10}{3}(m - 5) \] \[ -(6 - m) - (11 - 2m) = \frac{10}{3}(m - 5) \] \[ -6 + m - 11 + 2m = \frac{10}{3}(m - 5) \] \[ 3m - 17 = \frac{10}{3}(m - 5) \] Nhân cả hai vế với 3: \[ 9m - 51 = 10(m - 5) \] \[ 9m - 51 = 10m - 50 \] \[ -51 + 50 = 10m - 9m \] \[ -1 = m \] Vậy $m = -1$ thoả mãn điều kiện $m < \frac{21}{4}$. Đáp số: a. Nghiệm của phương trình là $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ và $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$. b. Giá trị của $m$ là $m = -1$. Bài 13: a. Ta có: \[ \Delta = [-(m-1)]^2 - 4(2m-5) = m^2 - 2m + 1 - 8m + 20 = m^2 - 10m + 21 \] \[ \Delta' = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \] Phương trình $\Delta = 0$ có hai nghiệm: \[ m = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2} \] \[ m = 7 \text{ hoặc } m = 3 \] Do đó, $\Delta > 0$ khi $m < 3$ hoặc $m > 7$. Vì vậy, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$ ngoại trừ $m = 3$ và $m = 7$. b. Ta cần tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn: \[ (x_1^2 - 2mx_1 + 2m - 1)(x_2^2 - 2mx_2 + 2m - 1) < 0 \] Ta xét biểu thức: \[ x_1^2 - 2mx_1 + 2m - 1 \] \[ x_2^2 - 2mx_2 + 2m - 1 \] Nhận thấy rằng: \[ x_1^2 - 2mx_1 + 2m - 1 = (x_1 - m)^2 - m^2 + 2m - 1 \] \[ x_2^2 - 2mx_2 + 2m - 1 = (x_2 - m)^2 - m^2 + 2m - 1 \] Để $(x_1^2 - 2mx_1 + 2m - 1)(x_2^2 - 2mx_2 + 2m - 1) < 0$, ta cần một trong hai biểu thức trên âm và một dương. Điều này xảy ra khi: \[ (x_1 - m)^2 - m^2 + 2m - 1 < 0 \text{ và } (x_2 - m)^2 - m^2 + 2m - 1 > 0 \] hoặc ngược lại. Từ đây, ta cần: \[ (x_1 - m)^2 < m^2 - 2m + 1 \] \[ (x_2 - m)^2 > m^2 - 2m + 1 \] Do đó, ta cần: \[ |x_1 - m| < \sqrt{m^2 - 2m + 1} \] \[ |x_2 - m| > \sqrt{m^2 - 2m + 1} \] Điều này xảy ra khi: \[ m^2 - 2m + 1 > 0 \] \[ (m - 1)^2 > 0 \] Điều này đúng khi $m \neq 1$. Do đó, các giá trị của $m$ thỏa mãn là: \[ m \neq 1 \] Kết luận: a. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$ ngoại trừ $m = 3$ và $m = 7$. b. Các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $(x_1^2 - 2mx_1 + 2m - 1)(x_2^2 - 2mx_2 + 2m - 1) < 0$ là $m \neq 1$.