Giúp mình với!

Câu 5 Để xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 1}{|x - 1|}$, ta cần kiểm tra tính liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của hàm số. Đặc biệt, ta cần chú ý đến điểm $x = 1$ vì đây là điểm mà mẫu số có thể bằng không. Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số Hàm số $f(x)$ có mẫu số là $|x - 1|$. Mẫu số này không bao giờ bằng không ngoại trừ khi $x = 1$. Do đó, miền xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Bước 2: Xét tính liên tục tại các điểm khác $x = 1$ Đối với mọi $x \neq 1$, hàm số $f(x)$ là thương của hai đa thức, do đó nó liên tục trên miền xác định của nó. Bước 3: Xét tính liên tục tại điểm $x = 1$ Ta cần kiểm tra giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến 1 từ cả hai phía và so sánh với giá trị của hàm số tại điểm đó. Giới hạn từ bên trái ($x \to 1^{-}$): Khi $x < 1$, ta có $|x - 1| = -(x - 1)$. Do đó: \[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{-(x - 1)} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{-(x - 1)} = -(x + 1) \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} -(x + 1) = -(1 + 1) = -2 \] Giới hạn từ bên phải ($x \to 1^{+}$): Khi $x > 1$, ta có $|x - 1| = x - 1$. Do đó: \[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \] So sánh giới hạn từ hai phía: Như đã thấy, $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -2$ và $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = 2$. Vì hai giới hạn này không bằng nhau, nên hàm số không có giới hạn khi $x$ tiến đến 1. Do đó, hàm số không liên tục tại điểm $x = 1$. Kết luận Hàm số $f(x) = \frac{x^2 - 1}{|x - 1|}$ liên tục trên miền xác định của nó ngoại trừ điểm $x = 1$. Tại điểm $x = 1$, hàm số không liên tục vì giới hạn từ hai phía không bằng nhau. Câu 6 Để xét sự hội tụ của chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{2^n}{7^n+2n}$, ta sẽ áp dụng tiêu chuẩn so sánh. Bước 1: Xác định giới hạn của phân thức trong chuỗi: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^n}{7^n + 2n}}{\frac{2^n}{7^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{7^n + 2n} \cdot \frac{7^n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{7^n + 2n} \] Bước 2: Tính giới hạn: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{7^n + 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2n}{7^n}} \] Do $\frac{2n}{7^n} \to 0$ khi $n \to \infty$, nên: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2n}{7^n}} = 1 \] Bước 3: Áp dụng tiêu chuẩn so sánh: Ta thấy rằng $\sum^\infty_{n=1} \frac{2^n}{7^n}$ là một chuỗi lũy thừa với công bội $q = \frac{2}{7} < 1$, do đó chuỗi này hội tụ. Vì $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^n}{7^n + 2n}}{\frac{2^n}{7^n}} = 1$, theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi $\sum^\infty_{n=1} \frac{2^n}{7^n + 2n}$ cũng hội tụ. Kết luận: Chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{2^n}{7^n+2n}$ hội tụ. Câu 7 Để xét sự hội tụ của chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3}{(n+1)!}$, ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tiêu chuẩn tỉ số). Bước 1: Xác định giới hạn của tỉ số giữa các hạng mục liên tiếp của chuỗi: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(n+1)^3}{(n+2)!}}{\frac{n^3}{(n+1)!}} \right| \] Bước 2: Tính tỉ số này: \[ \frac{\frac{(n+1)^3}{(n+2)!}}{\frac{n^3}{(n+1)!}} = \frac{(n+1)^3}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{(n+2)(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)!}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{(n+2)n^3} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức: \[ \frac{(n+1)^3}{(n+2)n^3} = \frac{(n+1)^3}{n^3(n+2)} = \frac{(n+1)^3}{n^3(n+2)} = \frac{(n+1)^3}{n^3(n+2)} \] Bước 4: Tìm giới hạn khi \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1}{n^3(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1}{n^4 + 2n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{n + 2} = 0 \] Vì giới hạn này bằng 0, nhỏ hơn 1, nên theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3}{(n+1)!}$ hội tụ. Kết luận: Chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3}{(n+1)!}$ hội tụ. --- Để xét sự hội tụ của chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{3n+1}{n^2\sqrt{n}+n+2}$, ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn so sánh. Bước 1: Xác định giới hạn của tỉ số giữa các hạng mục của chuỗi và một chuỗi so sánh đã biết hội tụ hoặc phân kỳ: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n+1}{n^2\sqrt{n}+n+2}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(3n+1)n^{3/2}}{n^2\sqrt{n}+n+2} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(3n+1)n^{3/2}}{n^2\sqrt{n}+n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^{5/2} + n^{3/2}}{n^{5/2} + n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n^{3/2}} + \frac{2}{n^{5/2}}} = 3 \] Vì giới hạn này bằng 3, là một hằng số dương hữu hạn, nên theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{3n+1}{n^2\sqrt{n}+n+2}$ có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ với chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^{3/2}}$. Chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^{3/2}}$ là một chuỗi p-hàm với \( p = \frac{3}{2} > 1 \), do đó nó hội tụ. Kết luận: Chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{3n+1}{n^2\sqrt{n}+n+2}$ hội tụ. Câu 9 Để xét sự hội tụ của chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{(n!)^2}{(2n)!}$, ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tiêu chuẩn tỉ số). Bước 1: Xác định các hạng số của chuỗi: $a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}$ Bước 2: Tính tỉ số của hai hạng số liên tiếp: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}$ Bước 3: Rút gọn biểu thức: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \] \[ = \frac{(n+1)^2 \cdot (n!)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \] \[ = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \] \[ = \frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} \] \[ = \frac{n+1}{2(2n+1)} \] Bước 4: Tìm giới hạn của tỉ số này khi $n$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{4 + \frac{2}{n}} = \frac{1}{4} \] Bước 5: Áp dụng tiêu chuẩn D'Alembert: - Nếu $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1$, thì chuỗi hội tụ. - Nếu $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1$, thì chuỗi phân kỳ. - Nếu $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$, thì tiêu chuẩn không xác định. Trong trường hợp này, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{4} < 1 \] Vậy theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{(n!)^2}{(2n)!}$ hội tụ.