Tìm hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu các bình phương của chúng bằng 119

Gọi số thứ nhất là \( x \) và số thứ hai là \( y \) (điều kiện: \( x, y \) là số tự nhiên). Theo đề bài, ta có hai điều kiện: 1. Hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9: \[ 2x = 3y + 9 \] 2. Hiệu các bình phương của chúng bằng 119: \[ x^2 - y^2 = 119 \] Ta sẽ giải hệ phương trình này từng bước. Bước 1: Giải phương trình \( 2x = 3y + 9 \) để tìm \( x \): \[ x = \frac{3y + 9}{2} \] Bước 2: Thay \( x = \frac{3y + 9}{2} \) vào phương trình \( x^2 - y^2 = 119 \): \[ \left( \frac{3y + 9}{2} \right)^2 - y^2 = 119 \] \[ \frac{(3y + 9)^2}{4} - y^2 = 119 \] \[ \frac{9y^2 + 54y + 81}{4} - y^2 = 119 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ 9y^2 + 54y + 81 - 4y^2 = 476 \] \[ 5y^2 + 54y + 81 = 476 \] \[ 5y^2 + 54y + 81 - 476 = 0 \] \[ 5y^2 + 54y - 395 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai \( 5y^2 + 54y - 395 = 0 \) bằng công thức nghiệm: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 5 \), \( b = 54 \), \( c = -395 \): \[ y = \frac{-54 \pm \sqrt{54^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-395)}}{2 \cdot 5} \] \[ y = \frac{-54 \pm \sqrt{2916 + 7900}}{10} \] \[ y = \frac{-54 \pm \sqrt{10816}}{10} \] \[ y = \frac{-54 \pm 104}{10} \] Ta có hai nghiệm: \[ y_1 = \frac{-54 + 104}{10} = \frac{50}{10} = 5 \] \[ y_2 = \frac{-54 - 104}{10} = \frac{-158}{10} = -15.8 \] (loại vì \( y \) phải là số tự nhiên) Vậy \( y = 5 \). Bước 4: Thay \( y = 5 \) vào phương trình \( x = \frac{3y + 9}{2} \): \[ x = \frac{3 \cdot 5 + 9}{2} = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 12 và 5. Đáp số: 12 và 5.