Cho một tam giác vuông.Tổng độ dài hai cạnh góc vuông bằng 70cm.Nếu tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm 10cm thì diện tích tam giác tăng 400 centimet vuông.TÍnh độ dài hai cạnh góc vuông

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là a và b (điều kiện: a > 0, b > 0). Theo đề bài ta có: \[ a + b = 70 \] Diện tích ban đầu của tam giác là: \[ S_1 = \frac{1}{2} \times a \times b \] Nếu tăng độ dài mỗi cạnh góc vuông thêm 10 cm, ta có: \[ a' = a + 10 \] \[ b' = b + 10 \] Diện tích mới của tam giác là: \[ S_2 = \frac{1}{2} \times a' \times b' = \frac{1}{2} \times (a + 10) \times (b + 10) \] Theo đề bài, diện tích tăng thêm 400 cm², nên ta có: \[ S_2 - S_1 = 400 \] Thay các giá trị vào ta có: \[ \frac{1}{2} \times (a + 10) \times (b + 10) - \frac{1}{2} \times a \times b = 400 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ (a + 10)(b + 10) - ab = 800 \] Mở ngoặc và rút gọn: \[ ab + 10a + 10b + 100 - ab = 800 \] \[ 10a + 10b + 100 = 800 \] \[ 10(a + b) + 100 = 800 \] Thay \( a + b = 70 \) vào: \[ 10 \times 70 + 100 = 800 \] \[ 700 + 100 = 800 \] \[ 800 = 800 \] Phương trình này đúng, do đó ta đã kiểm tra lại các phép tính và điều kiện. Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị của a và b. Ta có: \[ a + b = 70 \] Giả sử \( a = x \) và \( b = 70 - x \). Thay vào phương trình diện tích tăng thêm: \[ 10x + 10(70 - x) + 100 = 800 \] \[ 10x + 700 - 10x + 100 = 800 \] \[ 800 = 800 \] Điều này đúng, do đó ta cần tìm giá trị cụ thể của x. Ta thử các giá trị sao cho \( a \) và \( b \) đều dương và thỏa mãn điều kiện ban đầu. Giả sử \( a = 30 \) và \( b = 40 \): \[ a + b = 30 + 40 = 70 \] \[ S_1 = \frac{1}{2} \times 30 \times 40 = 600 \] \[ S_2 = \frac{1}{2} \times 40 \times 50 = 1000 \] \[ S_2 - S_1 = 1000 - 600 = 400 \] Do đó, giá trị của hai cạnh góc vuông là 30 cm và 40 cm. Đáp số: 30 cm và 40 cm.