Bài 1: Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ

Bài 1: Để chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ, chúng ta sẽ thực hiện hai hướng chứng minh: từ trái sang phải và từ phải sang trái. Hướng 1: Chứng minh nếu một số tự nhiên là số chính phương thì số ước số của nó là số lẻ Giả sử $$ là một số chính phương. Điều này có nghĩa là tồn tại số tự nhiên $$ sao cho $$. - Các ước số của $$ sẽ bao gồm các cặp số $$ sao cho $$. - Trong trường hợp $$, ta có thể thấy rằng $$ là một ước số của $$ và $$. - Do đó, $$ là một ước số duy nhất không tạo thành cặp với một ước số khác. - Các ước số còn lại sẽ tạo thành các cặp $$ sao cho $$. Vì vậy, tổng số ước số của $$ sẽ là số lẻ (do có một ước số duy nhất là $$ và các cặp ước số khác). Hướng 2: Chứng minh nếu số ước số của một số tự nhiên là số lẻ thì số đó là số chính phương Giả sử $$ là một số tự nhiên có số ước số là số lẻ. - Nếu số ước số của $$ là số lẻ, điều này có nghĩa là có ít nhất một ước số duy nhất không tạo thành cặp với một ước số khác. - Gọi ước số này là $$. Ta có $$, tức là $$. Do đó, $$ là số chính phương. Kết luận Qua hai hướng chứng minh trên, ta đã chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ.