Bài 1: Chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ

Bài 1: Để chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ, chúng ta sẽ thực hiện hai hướng chứng minh: từ trái sang phải và từ phải sang trái. Hướng 1: Chứng minh nếu một số tự nhiên là số chính phương thì số ước số của nó là số lẻ Giả sử \( n \) là một số chính phương. Điều này có nghĩa là tồn tại số tự nhiên \( k \) sao cho \( n = k^2 \). - Các ước số của \( n \) sẽ bao gồm các cặp số \( (a, b) \) sao cho \( a \times b = n \). - Trong trường hợp \( n = k^2 \), ta có thể thấy rằng \( k \) là một ước số của \( n \) và \( k \times k = n \). - Do đó, \( k \) là một ước số duy nhất không tạo thành cặp với một ước số khác. - Các ước số còn lại sẽ tạo thành các cặp \( (a, b) \) sao cho \( a \neq b \). Vì vậy, tổng số ước số của \( n \) sẽ là số lẻ (do có một ước số duy nhất là \( k \) và các cặp ước số khác). Hướng 2: Chứng minh nếu số ước số của một số tự nhiên là số lẻ thì số đó là số chính phương Giả sử \( n \) là một số tự nhiên có số ước số là số lẻ. - Nếu số ước số của \( n \) là số lẻ, điều này có nghĩa là có ít nhất một ước số duy nhất không tạo thành cặp với một ước số khác. - Gọi ước số này là \( k \). Ta có \( k \times k = n \), tức là \( n = k^2 \). Do đó, \( n \) là số chính phương. Kết luận Qua hai hướng chứng minh trên, ta đã chứng minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước số của nó là số lẻ.