a:b dư 1 thì a và b có phải là số nguyên tố cùng nhau không vì sao chứng minh

Để chứng minh rằng nếu \( a : b \) dư 1 thì \( a \) và \( b \) là số nguyên tố cùng nhau, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Giả sử \( a \) chia cho \( b \) dư 1: Điều này có nghĩa là tồn tại số tự nhiên \( q \) sao cho: \[ a = bq + 1 \] 2. Tìm ước chung lớn nhất của \( a \) và \( b \): Giả sử \( d \) là ước chung lớn nhất của \( a \) và \( b \). Điều này có nghĩa là \( d \) chia hết cho cả \( a \) và \( b \). 3. Chứng minh \( d \) phải bằng 1: - Vì \( d \) là ước của \( b \), nên \( d \) chia hết cho \( b \). Ta có thể viết \( b = dk \) với \( k \) là số tự nhiên. - Thay vào phương trình \( a = bq + 1 \), ta có: \[ a = (dk)q + 1 = d(kq) + 1 \] - Điều này cho thấy \( a \) chia cho \( d \) dư 1. Do đó, \( d \) không thể lớn hơn 1, vì nếu \( d > 1 \) thì \( a \) sẽ không chia hết cho \( d \) mà còn dư 1. 4. Kết luận: - Vì \( d \) là ước chung lớn nhất của \( a \) và \( b \), và \( d \) phải bằng 1, nên \( a \) và \( b \) là số nguyên tố cùng nhau. Vậy, nếu \( a : b \) dư 1 thì \( a \) và \( b \) là số nguyên tố cùng nhau.