tính tích phân

Để tính tích phân $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\tan x$. Ta biết rằng: \[ \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx \] Bước 2: Áp dụng phương pháp đổi biến. Gọi $u = \cos x$. Khi đó, $du = -\sin x \, dx$ hoặc $dx = -\frac{du}{\sin x}$. Bước 3: Thay vào biểu thức tích phân. \[ \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int \frac{\sin x}{u} \left(-\frac{du}{\sin x}\right) = -\int \frac{1}{u} \, du \] Bước 4: Tính tích phân. \[ -\int \frac{1}{u} \, du = -\ln |u| + C = -\ln |\cos x| + C \] Bước 5: Đánh giá tích phân từ $\frac{\pi}{6}$ đến $\frac{\pi}{3}$. \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx = \left[-\ln |\cos x|\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \] Bước 6: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức. \[ = -\ln \left|\cos \frac{\pi}{3}\right| + \ln \left|\cos \frac{\pi}{6}\right| \] \[ = -\ln \left(\frac{1}{2}\right) + \ln \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ = -\ln \left(\frac{1}{2}\right) + \ln \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ = \ln 2 + \ln \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ = \ln 2 + \ln \sqrt{3} - \ln 2 \] \[ = \ln \sqrt{3} \] \[ = \frac{1}{2} \ln 3 \] Vậy, tích phân $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx$ là $\frac{1}{2} \ln 3$.