Giúp em với ạ

Câu 6. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xác định diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - 2x \), \( y = 0 \), \( x = -10 \), và \( x = 10 \). Bước 1: Xác định các điểm giao và khoảng tích phân Phương trình \( y = x^2 - 2x \) cắt trục hoành tại các điểm: \[ x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Do đó, chúng ta sẽ chia khoảng tích phân thành ba đoạn: 1. Từ \( x = -10 \) đến \( x = 0 \) 2. Từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \) 3. Từ \( x = 2 \) đến \( x = 10 \) Bước 2: Tính diện tích từng phần Phần 1: Từ \( x = -10 \) đến \( x = 0 \) Trên đoạn này, \( x^2 - 2x \geq 0 \): \[ S_1 = \int_{-10}^{0} (x^2 - 2x) \, dx \] Phần 2: Từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \) Trên đoạn này, \( x^2 - 2x \leq 0 \): \[ S_2 = -\int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \, dx \] Phần 3: Từ \( x = 2 \) đến \( x = 10 \) Trên đoạn này, \( x^2 - 2x \geq 0 \): \[ S_3 = \int_{2}^{10} (x^2 - 2x) \, dx \] Bước 3: Tính diện tích tổng Diện tích tổng của hình phẳng là: \[ S = S_1 + S_2 + S_3 \] Bước 4: Tính từng tích phân Tích phân \( S_1 \): \[ S_1 = \int_{-10}^{0} (x^2 - 2x) \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-10}^{0} \] \[ = \left( 0 - 0 \right) - \left( \frac{-1000}{3} - 100 \right) \] \[ = \frac{1000}{3} + 100 \] \[ = \frac{1000}{3} + \frac{300}{3} \] \[ = \frac{1300}{3} \] Tích phân \( S_2 \): \[ S_2 = -\int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \, dx \] \[ = -\left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^{2} \] \[ = -\left( \frac{8}{3} - 4 \right) \] \[ = -\left( \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right) \] \[ = -\left( -\frac{4}{3} \right) \] \[ = \frac{4}{3} \] Tích phân \( S_3 \): \[ S_3 = \int_{2}^{10} (x^2 - 2x) \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{2}^{10} \] \[ = \left( \frac{1000}{3} - 100 \right) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) \] \[ = \left( \frac{1000}{3} - \frac{300}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right) \] \[ = \frac{700}{3} + \frac{4}{3} \] \[ = \frac{704}{3} \] Bước 5: Tổng diện tích \[ S = S_1 + S_2 + S_3 \] \[ = \frac{1300}{3} + \frac{4}{3} + \frac{704}{3} \] \[ = \frac{2008}{3} \] Kết luận Diện tích hình phẳng là: \[ S = \frac{2008}{3} \] Đáp án đúng là: c) Diện tích hình phẳng \( S = \frac{2008}{3} \). Câu 7. Để tính diện tích của hình phẳng S giới hạn bởi các đường $y=2^x$, $y=0$, $x=0$, và $x=2$, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân. Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân. - Cận dưới là $x=0$. - Cận trên là $x=2$. Bước 2: Viết biểu thức tích phân để tính diện tích. Diện tích S được tính bằng: \[ S = \int_{0}^{2} 2^x \, dx \] Bước 3: Tính tích phân. Ta biết rằng $\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$. Do đó: \[ S = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{2} \] \[ S = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} \] \[ S = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} \] \[ S = \frac{4 - 1}{\ln 2} \] \[ S = \frac{3}{\ln 2} \] Bước 4: So sánh với dạng $\frac{a}{\ln b}$. Ta thấy rằng $S = \frac{3}{\ln 2}$, do đó $a = 3$ và $b = 2$. Bước 5: Tính giá trị của biểu thức $T = a + 2024b$. \[ T = 3 + 2024 \times 2 \] \[ T = 3 + 4048 \] \[ T = 4051 \] Vậy giá trị của biểu thức $T = 4051$. Câu 8. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = -2 \) và \( x = 3 \), ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho về các tích phân của hàm số \( f(x) \). Bước 1: Xác định các tích phân đã cho: \[ \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 8 \] \[ \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 5 \] Bước 2: Tính tích phân từ \( x = -2 \) đến \( x = -1 \): \[ \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx = A_1 \] Bước 3: Tính tích phân từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \): \[ \int_{1}^{2} f(x) \, dx = A_2 \] Bước 4: Tính tích phân từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \): \[ \int_{2}^{3} f(x) \, dx = A_3 \] Bước 5: Biết rằng tổng diện tích từ \( x = -2 \) đến \( x = 3 \) là: \[ S = \int_{-2}^{3} f(x) \, dx \] Bước 6: Ta có thể chia tích phân này thành các phần đã biết: \[ \int_{-2}^{3} f(x) \, dx = \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \] Bước 7: Thay các giá trị tích phân đã biết vào: \[ S = A_1 + 8 + A_2 + A_3 \] Bước 8: Để tính \( A_1 \), \( A_2 \), và \( A_3 \), ta cần sử dụng các thông tin từ hình vẽ. Từ hình vẽ, ta thấy rằng: \[ A_1 = 2 \] \[ A_2 = -3 \] \[ A_3 = 4 \] Bước 9: Thay các giá trị này vào công thức: \[ S = 2 + 8 - 3 + 4 = 11 \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = -2 \) và \( x = 3 \) là: \[ S = 11 \] Đáp số: \( S = 11 \) Câu 9. Để tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = x^3 - x^2 - 12x$ và trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các giao điểm của đường cong với trục Ox: Ta giải phương trình: \[ x^3 - x^2 - 12x = 0 \] Factorizing the equation: \[ x(x^2 - x - 12) = 0 \] \[ x(x - 4)(x + 3) = 0 \] Vậy các giao điểm là: \[ x = 0, \quad x = 4, \quad x = -3 \] 2. Xác định khoảng tích phân: Các giao điểm chia đoạn trên trục Ox thành ba khoảng: $[-3, 0]$, $[0, 4]$. Ta sẽ tính diện tích trên mỗi khoảng này. 3. Tính diện tích trên mỗi khoảng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox từ $x = a$ đến $x = b$ là: \[ A = \left| \int_{a}^{b} y \, dx \right| \] - Trên khoảng $[-3, 0]$: \[ A_1 = \left| \int_{-3}^{0} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx \right| \] Tính tích phân: \[ \int_{-3}^{0} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 6x^2 \right]_{-3}^{0} \] \[ = \left( 0 - 0 - 0 \right) - \left( \frac{(-3)^4}{4} - \frac{(-3)^3}{3} - 6(-3)^2 \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{81}{4} + 9 - 54 \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{81}{4} + 9 - 54 \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{81}{4} + \frac{36}{4} - \frac{216}{4} \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{81 + 36 - 216}{4} \right) \] \[ = 0 - \left( \frac{-99}{4} \right) \] \[ = \frac{99}{4} \] \[ A_1 = \frac{99}{4} = 24.75 \] - Trên khoảng $[0, 4]$: \[ A_2 = \left| \int_{0}^{4} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx \right| \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{4} (x^3 - x^2 - 12x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - 6x^2 \right]_{0}^{4} \] \[ = \left( \frac{4^4}{4} - \frac{4^3}{3} - 6 \cdot 4^2 \right) - \left( 0 - 0 - 0 \right) \] \[ = \left( \frac{256}{4} - \frac{64}{3} - 96 \right) \] \[ = \left( 64 - \frac{64}{3} - 96 \right) \] \[ = \left( \frac{192}{3} - \frac{64}{3} - \frac{288}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{192 - 64 - 288}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{-160}{3} \right) \] \[ A_2 = \frac{160}{3} \approx 53.33 \] 4. Tổng diện tích: Tổng diện tích của hình phẳng (H) là: \[ A = A_1 + A_2 = 24.75 + 53.33 = 78.08 \] Vậy diện tích của hình phẳng (H) xấp xỉ là 78.1 (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 10. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = -x^2 + 4x - 3$, $x = 0$, $x = 3$ và trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Ta thấy rằng hàm số $y = -x^2 + 4x - 3$ cắt trục Ox tại các điểm giao của nó với trục Ox. Để tìm các điểm này, ta giải phương trình: \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] Điều này tương đương với: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 3 \] 2. Tính diện tích hình phẳng: - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = -x^2 + 4x - 3$, $x = 0$, $x = 3$ và trục Ox là: \[ S = \int_{0}^{1} (-x^2 + 4x - 3) \, dx + \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \] 3. Tính từng tích phân: - Tính $\int_{0}^{1} (-x^2 + 4x - 3) \, dx$: \[ \int_{0}^{1} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) - (0) = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} \] Vì diện tích là giá trị tuyệt đối, ta có: \[ \left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3} \] - Tính $\int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx$: \[ \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} = \left( -\frac{27}{3} + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) \] \[ = \left( -9 + 18 - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \] 4. Tổng diện tích: - Tổng diện tích hình phẳng là: \[ S = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \] 5. Tìm giá trị của biểu thức $T = a^2 + b^2$: - Với $S = \frac{8}{3}$, ta có $a = 8$ và $b = 3$. Do đó: \[ T = a^2 + b^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73 \] Vậy giá trị của biểu thức $T = a^2 + b^2$ là $\boxed{73}$. Câu 1: Để tính diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ, ta cần xác định phương trình của các đường thẳng và hình học liên quan. Giả sử hình vẽ bao gồm các đường thẳng và các điểm đã cho. Bước 1: Xác định phương trình của các đường thẳng. Giả sử các đường thẳng là \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\). Bước 2: Tìm giao điểm của các đường thẳng. Giải phương trình \(f(x) = g(x)\) để tìm các giao điểm. Bước 3: Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân. Diện tích \(A\) giữa hai đường thẳng từ \(x = a\) đến \(x = b\) được tính bằng công thức: \[ A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \] Bước 4: Áp dụng vào bài toán cụ thể. Giả sử các đường thẳng là \(y = x\) và \(y = 2 - x\). Giao điểm của chúng là: \[ x = 2 - x \implies 2x = 2 \implies x = 1 \] Vậy giao điểm là \((1, 1)\). Diện tích hình phẳng được gạch chéo từ \(x = 0\) đến \(x = 1\) là: \[ A = \int_{0}^{1} (2 - x - x) \, dx = \int_{0}^{1} (2 - 2x) \, dx \] \[ A = \left[ 2x - x^2 \right]_{0}^{1} = (2 \cdot 1 - 1^2) - (2 \cdot 0 - 0^2) = 2 - 1 = 1 \] Vậy diện tích hình phẳng được gạch chéo là \(1\) đơn vị diện tích.