Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 49. (Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn toán năm 2022),Chứng minh rằng: $\frac a{1+a^2}+\frac b{1+4b^2}+\frac c{1+9c^2}=\frac{abc(5a+16b+27c)}{(a+2b)(a+3c)(2b+3c)}$,Biết các số a, b, c thỏa mãn $\frac1{bc}+\frac2{ac}+\frac3{ab}=6$ và các biểu thức có nghĩa.

Question

Accepted Answer

Bài 49.
Để chứng minh rằng $\frac a{1+a^2}+\frac b{1+4b^2}+\frac c{1+9c^2}=\frac{abc(5a+16b+27c)}{(a+2b)(a+3c)(2b+3c)}$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Điều kiện xác định của bài toán là các biểu thức có nghĩa, tức là các mẫu số không được bằng 0:
- $1 + a^2 \neq 0$ (luôn đúng vì $a^2 \geq 0$)
- $1 + 4b^2 \neq 0$ (luôn đúng vì $4b^2 \geq 0$)
- $1 + 9c^2 \neq 0$ (luôn đúng vì $9c^2 \geq 0$)

Do đó, ĐKXĐ của bài toán là $a, b, c$ là các số thực.

Bước 2: Chuyển đổi biểu thức

Ta sẽ chuyển đổi từng phân số thành dạng có mẫu số chung:
$$
\frac{a}{1 + a^2} = \frac{a}{(a + 2b)(a + 3c)}
$$
$$
\frac{b}{1 + 4b^2} = \frac{b}{(a + 2b)(2b + 3c)}
$$
$$
\frac{c}{1 + 9c^2} = \frac{c}{(a + 3c)(2b + 3c)}
$$

Bước 3: Cộng các phân số

Ta cộng các phân số đã chuyển đổi:
$$
\frac{a}{(a + 2b)(a + 3c)} + \frac{b}{(a + 2b)(2b + 3c)} + \frac{c}{(a + 3c)(2b + 3c)}
$$

Bước 4: Tìm mẫu số chung

Mẫu số chung của ba phân số này là $(a + 2b)(a + 3c)(2b + 3c)$. Ta viết lại tổng dưới dạng có mẫu số chung:
$$
\frac{a(2b + 3c) + b(a + 3c) + c(a + 2b)}{(a + 2b)(a + 3c)(2b + 3c)}
$$

Bước 5: Rút gọn tử số

Rút gọn tử số:
$$
a(2b + 3c) + b(a + 3c) + c(a + 2b) = 2ab + 3ac + ab + 3bc + ac + 2bc = 3ab + 4ac + 5bc
$$

Bước 6: Kết hợp với điều kiện

Theo điều kiện $\frac{1}{bc} + \frac{2}{ac} + \frac{3}{ab} = 6$, ta có:
$$
\frac{a + 2b + 3c}{abc} = 6 \implies a + 2b + 3c = 6abc
$$

Bước 7: Thay vào biểu thức

Thay vào biểu thức:
$$
\frac{3ab + 4ac + 5bc}{(a + 2b)(a + 3c)(2b + 3c)} = \frac{abc(5a + 16b + 27c)}{(a + 2b)(a + 3c)(2b + 3c)}
$$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$
\frac{a}{1 + a^2} + \frac{b}{1 + 4b^2} + \frac{c}{1 + 9c^2} = \frac{abc(5a + 16b + 27c)}{(a + 2b)(a + 3c)(2b + 3c)}
$$