Giúp tôi giải chi tiết theo cách cấp2 Bài 3: Cho $\Delta ABC$ nhọn có đường cao AE, BF, CN,cắt nhau tai H.,a. Chứng minh : tứ giác $CEHF$ nội tiếp và,tứ giác AFEB nội tiếp,b. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC. EF cắt (O) tại,M. Chứng minh : $\Delta BMN$ cân

Question

Accepted Answer

a, Ta có:

$HF \perp AC (gt) \Rightarrow \displaystyle \widehat{HFC} = 90^\circ$

$HE \perp BC (gt) \Rightarrow \displaystyle \widehat{HEC} = 90^\circ$

Xét tứ giác CEHF có: $\displaystyle \widehat{HFC} + \displaystyle \widehat{HEC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ mà hai góc này ở vị trí đối nhau
$\Rightarrow CEHF$ là tứ giác nội tiếp (định nghĩa)

b, Ta có:

$HN \perp AB (gt) \Rightarrow \displaystyle \widehat{ ANH} = 90^\circ$

$HF \perp AC (gt) \Rightarrow \displaystyle \widehat{ AFH} = 90^\circ$

Xét tứ giác AFHN có: $\displaystyle \widehat{ ANH} + \displaystyle \widehat{ AFH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ mà hai góc này ở vị trí đối nhau

$\Rightarrow AFHN$ là tứ giác nội tiếp (định nghĩa)

$\Rightarrow \displaystyle \widehat{ NAH} = \displaystyle \widehat{ NFH}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HN) (1)

Tứ giác HECF nội tiếp (cmt)

$\Rightarrow \displaystyle \widehat{ HFE} = \displaystyle \widehat{ HCE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) (2)

Ta có: $\displaystyle \widehat{ BAE} = \displaystyle \widehat{ NCB}$ (hai góc cùng phụ với $\displaystyle \widehat{ ABC}$) $\Rightarrow \displaystyle \widehat{ NAH} = \displaystyle \widehat{ HCE}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\displaystyle \widehat{ NFH} = \displaystyle \widehat{ HFE}$ hay $\displaystyle \widehat{ NFB} = \displaystyle \widehat{ BFM}$

Xét $(O)$ có: $\displaystyle \widehat{ NFB} = \displaystyle \widehat{ BFM}$

$\Rightarrow \widehat{BN} = \widehat{BM}$ (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow BN = BM$ (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Suy ra tam giác BMN cân (đpcm).