Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 82. Để tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $d$ lần lượt tại hai điểm $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn $MN$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm $M$ trên mặt phẳng $(P)$: Gọi $M(x_1, y_1, z_1)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$. Ta có: \[ 2x_1 - y_1 + z_1 - 10 = 0 \quad \text{(1)} \] 2. Tìm tọa độ điểm $N$ trên đường thẳng $d$: Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{array} \right. \] Gọi $N(x_2, y_2, z_2)$ là điểm thuộc đường thẳng $d$. Ta có: \[ x_2 = -2 + 2t, \quad y_2 = 1 + t, \quad z_2 = 1 - t \] 3. Sử dụng điều kiện $A$ là trung điểm của đoạn $MN$: Vì $A(1, 3, 2)$ là trung điểm của đoạn $MN$, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \\ \frac{y_1 + y_2}{2} = 3 \\ \frac{z_1 + z_2}{2} = 2 \end{array} \right. \] Thay $x_2$, $y_2$, $z_2$ vào các phương trình trên: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x_1 + (-2 + 2t)}{2} = 1 \\ \frac{y_1 + (1 + t)}{2} = 3 \\ \frac{z_1 + (1 - t)}{2} = 2 \end{array} \right. \] Giải các phương trình này: \[ \left\{ \begin{array}{l} x_1 + (-2 + 2t) = 2 \Rightarrow x_1 = 4 - 2t \\ y_1 + (1 + t) = 6 \Rightarrow y_1 = 5 - t \\ z_1 + (1 - t) = 4 \Rightarrow z_1 = 3 + t \end{array} \right. \] 4. Thay tọa độ $M(x_1, y_1, z_1)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ 2(4 - 2t) - (5 - t) + (3 + t) - 10 = 0 \] Giải phương trình này: \[ 8 - 4t - 5 + t + 3 + t - 10 = 0 \Rightarrow -2t - 4 = 0 \Rightarrow t = -2 \] 5. Tìm tọa độ điểm $M$ và $N$: Thay $t = -2$ vào các phương trình: \[ M(4 - 2(-2), 5 - (-2), 3 + (-2)) = M(8, 7, 1) \] \[ N(-2 + 2(-2), 1 + (-2), 1 - (-2)) = N(-6, -1, 3) \] 6. Tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $M$ và $N$: Vector $\overrightarrow{MN} = (-6 - 8, -1 - 7, 3 - 1) = (-14, -8, 2)$ Phương trình đường thẳng $\Delta$: \[ \frac{x - 8}{-14} = \frac{y - 7}{-8} = \frac{z - 1}{2} \] Rút gọn phương trình: \[ \frac{x - 8}{-7} = \frac{y - 7}{-4} = \frac{z - 1}{1} \] Đổi dấu để dễ nhìn: \[ \frac{x - 8}{7} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z - 1}{-1} \] Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: \[ \boxed{\frac{x - 6}{7} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z + 3}{-1}} \]