ndjsoowopwourjrnf

Bài 12. Theo bài ra, $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 - 3x - 1 = 0$. Ta áp dụng công thức Viète để tìm tổng và tích của các nghiệm: Tổng của các nghiệm: \[ x_1 + x_2 = 3 \] Tích của các nghiệm: \[ x_1 \cdot x_2 = -1 \] Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của các biểu thức theo yêu cầu. a) Tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$ Ta biết rằng: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = 3^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11 \] Vậy: \[ A = 11 \] b) Tính giá trị của biểu thức $B = x_1^3(x_1 - 1) + x_2^3(x_2 - x_1)$ Ta biết rằng: \[ x_1^3 = x_1 \cdot x_1^2 \] \[ x_2^3 = x_2 \cdot x_2^2 \] Do đó: \[ B = x_1 \cdot x_1^2 \cdot (x_1 - 1) + x_2 \cdot x_2^2 \cdot (x_2 - x_1) \] Áp dụng công thức Viète: \[ x_1^2 = 3x_1 + 1 \] \[ x_2^2 = 3x_2 + 1 \] Thay vào: \[ B = x_1(3x_1 + 1)(x_1 - 1) + x_2(3x_2 + 1)(x_2 - x_1) \] Phân tích và giản ước: \[ B = x_1(3x_1^2 - 3x_1 + x_1 - 1) + x_2(3x_2^2 - 3x_2 + x_2 - x_1) \] \[ B = x_1(3x_1^2 - 2x_1 - 1) + x_2(3x_2^2 - 2x_2 - x_1) \] Do $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình bậc hai, ta có: \[ x_1^2 = 3x_1 + 1 \] \[ x_2^2 = 3x_2 + 1 \] Thay vào: \[ B = x_1(3(3x_1 + 1) - 2x_1 - 1) + x_2(3(3x_2 + 1) - 2x_2 - x_1) \] \[ B = x_1(9x_1 + 3 - 2x_1 - 1) + x_2(9x_2 + 3 - 2x_2 - x_1) \] \[ B = x_1(7x_1 + 2) + x_2(7x_2 + 2 - x_1) \] Phân tích và giản ước: \[ B = 7x_1^2 + 2x_1 + 7x_2^2 + 2x_2 - x_1x_2 \] Áp dụng công thức Viète: \[ B = 7(3x_1 + 1) + 2x_1 + 7(3x_2 + 1) + 2x_2 - x_1x_2 \] \[ B = 21x_1 + 7 + 2x_1 + 21x_2 + 7 + 2x_2 - x_1x_2 \] \[ B = 23x_1 + 23x_2 + 14 - x_1x_2 \] Áp dụng công thức Viète: \[ B = 23(3) + 14 - (-1) \] \[ B = 69 + 14 + 1 \] \[ B = 84 \] c) Tính giá trị của biểu thức $C = |\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2}|$ Ta biết rằng: \[ C = |\frac{1}{x_1^2} - \frac{1}{x_2^2}| = |\frac{x_2^2 - x_1^2}{x_1^2 \cdot x_2^2}| \] Áp dụng công thức hiệu hai bình phương: \[ x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) \] Thay vào: \[ C = |\frac{(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)}{x_1^2 \cdot x_2^2}| \] Áp dụng công thức Viète: \[ x_1 + x_2 = 3 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -1 \] Thay vào: \[ C = |\frac{(x_2 - x_1) \cdot 3}{(-1)^2}| \] \[ C = |3(x_2 - x_1)| \] Vì $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình bậc hai, ta có: \[ x_2 - x_1 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} \] \[ x_2 - x_1 = \sqrt{3^2 - 4(-1)} \] \[ x_2 - x_1 = \sqrt{9 + 4} \] \[ x_2 - x_1 = \sqrt{13} \] Thay vào: \[ C = |3 \cdot \sqrt{13}| \] \[ C = 3\sqrt{13} \] Vậy: \[ C = 3\sqrt{13} \] Bài 13. a) Ta có $\Delta = m^2+4>0$ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Mặt khác tích hai nghiệm của phương trình (1) là $x_1x_2=-1< 0$ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu. b) Ta có: $A=\frac{x^2_1+x_1-1}{x_1}-\frac{x^2_2+x_2-1}{x_2}$ $=x_1+1-\frac{1}{x_1}-x_2-1+\frac{1}{x_2}$ $=(x_1-x_2)-\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)$ $=(x_1-x_2)\left(1+\frac{1}{x_1x_2}\right)$ $=(x_1-x_2)\times 0=0$ Bài 14. Để chứng minh phương trình \(x^2 - 2(m+1)x + 2m - 2 = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt, ta cần kiểm tra xem phương trình này có biệt thức \( \Delta \) lớn hơn 0 hay không. Phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu biệt thức \( \Delta = b^2 - 4ac > 0 \). Trong phương trình \(x^2 - 2(m+1)x + 2m - 2 = 0\): - \(a = 1\) - \(b = -2(m+1)\) - \(c = 2m - 2\) Ta tính biệt thức \( \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Thay các giá trị vào: \[ \Delta = [-2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 2) \] \[ \Delta = 4(m+1)^2 - 4(2m - 2) \] \[ \Delta = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(2m - 2) \] \[ \Delta = 4m^2 + 8m + 4 - 8m + 8 \] \[ \Delta = 4m^2 + 12 \] Ta thấy rằng \(4m^2 + 12\) luôn lớn hơn 0 vì \(4m^2 \geq 0\) và \(12 > 0\). Do đó, \( \Delta > 0 \) luôn đúng. Vậy phương trình \(x^2 - 2(m+1)x + 2m - 2 = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt.