Soss mn oii

Câu 17.4. Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \). Ta có: \[ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 2\sqrt{x} + 1} \] Chúng ta sẽ thực hiện phép trừ trong ngoặc trước: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}} = \frac{(x + \sqrt{x}) - (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(x + \sqrt{x})} = \frac{x + \sqrt{x} - \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)(x + \sqrt{x})} = \frac{x - 1}{(\sqrt{x} + 1)(x + \sqrt{x})} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ chia biểu thức này cho \(\frac{\sqrt{x} - 1}{x + 2\sqrt{x} + 1}\): \[ A = \frac{x - 1}{(\sqrt{x} + 1)(x + \sqrt{x})} \times \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta nhận thấy rằng \(x + 2\sqrt{x} + 1\) có thể viết lại thành \((\sqrt{x} + 1)^2\): \[ A = \frac{x - 1}{(\sqrt{x} + 1)(x + \sqrt{x})} \times \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta có thể giản ước \((\sqrt{x} + 1)\) ở tử và mẫu: \[ A = \frac{x - 1}{x + \sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta nhận thấy rằng \(x - 1\) có thể viết lại thành \((\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)\): \[ A = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}{x + \sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta có thể giản ước \((\sqrt{x} - 1)\) ở tử và mẫu: \[ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} \times (\sqrt{x} + 1) \] Chúng ta nhận thấy rằng \(x + \sqrt{x}\) có thể viết lại thành \(\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)\): \[ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \times (\sqrt{x} + 1) \] Chúng ta có thể giản ước \((\sqrt{x} + 1)\) ở tử và mẫu: \[ A = \frac{1}{\sqrt{x}} \times (\sqrt{x} + 1) \] \[ A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \] \[ A = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \] Theo đề bài, giá trị của biểu thức \(A\) bằng 3: \[ 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} = 3 \] \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 \] \[ \sqrt{x} = \frac{1}{2} \] \[ x = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \] \[ x = \frac{1}{4} \] Vậy giá trị của \(x\) để giá trị của biểu thức \(A\) bằng 3 là \(x = \frac{1}{4}\). Câu 17.5. Diện tích sân chơi là: \[ a \times (a + 8) \text{ (m}^2\text{)} \] Diện tích sân đã lát đá là: \[ 1000 \times 0.8 \times 0.8 = 640 \text{ (m}^2\text{)} \] Diện tích sân trồng cỏ là: \[ \frac{4480000}{35000} = 128 \text{ (m}^2\text{)} \] Diện tích sân chưa lát đá và chưa trồng cỏ là: \[ a \times (a + 8) - 640 - 128 = a \times (a + 8) - 768 \] Ta có phương trình: \[ a \times (a + 8) - 768 = 0 \] \[ a^2 + 8a - 768 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ a = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 + 4 \times 768}}{2} \] \[ a = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 3072}}{2} \] \[ a = \frac{-8 \pm \sqrt{3136}}{2} \] \[ a = \frac{-8 \pm 56}{2} \] Có hai nghiệm: \[ a = \frac{48}{2} = 24 \] \[ a = \frac{-64}{2} = -32 \] (loại vì \(a > 0\)) Vậy \(a = 24\). Đáp số: \(a = 24\) Câu 17.6. Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \). Biểu thức \( B \) được viết lại như sau: \[ B = \left( \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{1}{2\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta sẽ thực hiện phép chia trước: \[ B = \left( \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} \right) \times (2\sqrt{x} - 1) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức trong ngoặc: \[ \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} \] \[ \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} + 1 \] Do đó, biểu thức \( B \) trở thành: \[ B = (\sqrt{x} + \sqrt{x} + 1) \times (2\sqrt{x} - 1) \] \[ B = (2\sqrt{x} + 1) \times (2\sqrt{x} - 1) \] Áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \): \[ B = (2\sqrt{x})^2 - 1^2 \] \[ B = 4x - 1 \] Theo đề bài, giá trị của biểu thức \( B \) bằng 9: \[ 4x - 1 = 9 \] \[ 4x = 10 \] \[ x = \frac{10}{4} \] \[ x = \frac{5}{2} \] Vậy giá trị của \( x \) để giá trị của biểu thức \( B \) bằng 9 là: \[ x = \frac{5}{2} \] Câu 17.7. Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 1 \). Ta có: \[ B = \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{1}{x + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \] \[ \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \] Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với \((\sqrt{x} - 1)\) và \((\sqrt{x} + 1)\) tương ứng để quy đồng: \[ \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \] \[ \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \] Do đó: \[ B = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] Quy đồng mẫu số: \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} + 1) + 2\sqrt{x}}{x - 1} \] \[ B = \frac{\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} - 1 + 2\sqrt{x}}{x - 1} \] \[ B = \frac{2\sqrt{x} - 2}{x - 1} \] \[ B = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \] Thay \( x = 6 + 2\sqrt{5} \): \[ \sqrt{x} = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \] Ta nhận thấy \( 6 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 1)^2 \), do đó: \[ \sqrt{x} = \sqrt{5} + 1 \] Thay vào biểu thức: \[ B = \frac{2((\sqrt{5} + 1) - 1)}{(6 + 2\sqrt{5}) - 1} \] \[ B = \frac{2\sqrt{5}}{5 + 2\sqrt{5}} \] Rationalize mẫu số: \[ B = \frac{2\sqrt{5} \cdot (5 - 2\sqrt{5})}{(5 + 2\sqrt{5})(5 - 2\sqrt{5})} \] \[ B = \frac{2\sqrt{5} \cdot (5 - 2\sqrt{5})}{25 - 20} \] \[ B = \frac{2\sqrt{5} \cdot (5 - 2\sqrt{5})}{5} \] \[ B = \frac{2\sqrt{5} \cdot 5 - 2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{5} \] \[ B = \frac{10\sqrt{5} - 20}{5} \] \[ B = 2\sqrt{5} - 4 \] Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: \[ 2\sqrt{5} \approx 2 \times 2.236 = 4.472 \] \[ B \approx 4.472 - 4 = 0.472 \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) tại \( x = 6 + 2\sqrt{5} \) là khoảng 0.47. Câu 17.8. Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 4 \). Biến đổi biểu thức \( P \): \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{8}{x - 4} \] Tìm chung mẫu số: \[ P = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2) - \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) - 8}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] Rút gọn: \[ P = \frac{x + 2\sqrt{x} - x + 2\sqrt{x} - 8}{x - 4} = \frac{4\sqrt{x} - 8}{x - 4} \] Phân tích biểu thức: \[ P = \frac{4(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{4}{\sqrt{x} + 2} \] Yêu cầu \( P \geq 1 \): \[ \frac{4}{\sqrt{x} + 2} \geq 1 \] Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} + 2 \) (vì \( \sqrt{x} + 2 > 0 \)): \[ 4 \geq \sqrt{x} + 2 \] \[ 2 \geq \sqrt{x} \] \[ 4 \geq x \] Do đó, \( x \leq 4 \). Kết hợp với điều kiện ban đầu \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \), ta có: \[ 0 \leq x < 4 \] Các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn là: \( x = 0, 1, 2, 3 \). Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của \( x \) để \( P \geq 1 \). Câu 17.9. Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \). Biểu thức \( P \) được viết lại như sau: \[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \] Tìm chung mẫu số của các phân thức trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} = \frac{(\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} \] Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{x - 4} \] Rút gọn biểu thức: \[ P = \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} \] Ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( \frac{7P}{3} \) là số nguyên: \[ \frac{7P}{3} = \frac{7 \cdot \frac{2}{\sqrt{x} + 2}}{3} = \frac{14}{3(\sqrt{x} + 2)} \] Để \( \frac{14}{3(\sqrt{x} + 2)} \) là số nguyên, \( 3(\sqrt{x} + 2) \) phải là ước của 14. Các ước của 14 là: 1, 2, 7, 14. Xét từng trường hợp: 1. \( 3(\sqrt{x} + 2) = 1 \) \[ \sqrt{x} + 2 = \frac{1}{3} \] \[ \sqrt{x} = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3} \] (không thỏa mãn vì \( \sqrt{x} \geq 0 \)) 2. \( 3(\sqrt{x} + 2) = 2 \) \[ \sqrt{x} + 2 = \frac{2}{3} \] \[ \sqrt{x} = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3} \] (không thỏa mãn vì \( \sqrt{x} \geq 0 \)) 3. \( 3(\sqrt{x} + 2) = 7 \) \[ \sqrt{x} + 2 = \frac{7}{3} \] \[ \sqrt{x} = \frac{7}{3} - 2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \] 4. \( 3(\sqrt{x} + 2) = 14 \) \[ \sqrt{x} + 2 = \frac{14}{3} \] \[ \sqrt{x} = \frac{14}{3} - 2 = \frac{8}{3} \] \[ x = \left( \frac{8}{3} \right)^2 = \frac{64}{9} \] Vậy có 2 giá trị của \( x \) thỏa mãn: \( x = \frac{1}{9} \) và \( x = \frac{64}{9} \). Đáp số: 2 giá trị của \( x \). Câu 17.10. Gọi giá tiền ban đầu của mỗi quyển vở là x (nghìn đồng, điều kiện: x > 0) Số tiền mỗi quyển vở sau khi giảm giá là: x - 3 Số lượng vở dự định mua là: $\frac{300}{x}$ (quyển) Số lượng vở thực tế mua được là: $\frac{300}{x-3}$ (quyển) Theo đề bài ta có: $\frac{300}{x-3} = \frac{300}{x} \times 1,25$ $\frac{300}{x-3} = \frac{300}{x} \times \frac{5}{4}$ $\frac{1}{x-3} = \frac{1}{x} \times \frac{5}{4}$ $\frac{1}{x-3} = \frac{5}{4x}$ 4x = 5(x - 3) 4x = 5x - 15 x = 15 Đáp số: 15 (nghìn đồng) Câu 17.11. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức \(A\) và \(B\). 2. Thay vào phương trình \(A = 2B\) và giải phương trình này để tìm giá trị của \(x\). Bước 1: Rút gọn biểu thức \(A\) và \(B\) Rút gọn biểu thức \(A\): \[ A = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{12 + 6\sqrt{3}} \] Ta nhận thấy rằng: \[ 7 - 4\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 2)^2 \quad \text{và} \quad 12 + 6\sqrt{3} = (3 + \sqrt{3})^2 \] Do đó: \[ A = \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{(3 + \sqrt{3})^2} = |\sqrt{3} - 2| + |3 + \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} = 5 \] Rút gọn biểu thức \(B\): \[ B = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1}\right) \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phần trong ngoặc đơn: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) + (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] Do đó: \[ B = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(\frac{2\sqrt{x}}{x - 1} - \frac{2}{x - 1}\right) = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(\frac{2\sqrt{x} - 2}{x - 1}\right) \] \[ B = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(\frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1}\right) = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(\frac{2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}\right) \] \[ B = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(\frac{2}{\sqrt{x} + 1}\right) = \frac{2(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{2}{\sqrt{x}} \] Bước 2: Thay vào phương trình \(A = 2B\) và giải phương trình này để tìm giá trị của \(x\) Ta có: \[ A = 5 \quad \text{và} \quad B = \frac{2}{\sqrt{x}} \] Thay vào phương trình \(A = 2B\): \[ 5 = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{x}} \] \[ 5 = \frac{4}{\sqrt{x}} \] \[ 5\sqrt{x} = 4 \] \[ \sqrt{x} = \frac{4}{5} \] \[ x = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \] Vậy giá trị của \(x\) là: \[ x = \frac{16}{25} \] Câu 17.12. Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \). Ta có: \[ P = \left( \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} - \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} \right) : \frac{1}{x\sqrt{x}(1-x)} \] Tính hiệu của hai phân thức: \[ \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} - \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} = \frac{(1-\sqrt{x})^2 - (1+\sqrt{x})^2}{(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})} \] \[ = \frac{1 - 2\sqrt{x} + x - (1 + 2\sqrt{x} + x)}{1 - x} \] \[ = \frac{1 - 2\sqrt{x} + x - 1 - 2\sqrt{x} - x}{1 - x} \] \[ = \frac{-4\sqrt{x}}{1 - x} \] Do đó: \[ P = \frac{-4\sqrt{x}}{1 - x} : \frac{1}{x\sqrt{x}(1-x)} \] \[ = \frac{-4\sqrt{x}}{1 - x} \times x\sqrt{x}(1 - x) \] \[ = -4x \] Giá trị của biểu thức \( P \) là \( -4x \). Để giá trị của biểu thức \( P \) bằng 0, ta có: \[ -4x = 0 \] \[ x = 0 \] Tuy nhiên, theo điều kiện xác định \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \), nên không có giá trị nào của \( x \) thỏa mãn điều kiện này. Vậy không có giá trị của \( x \) để giá trị của biểu thức \( P \) bằng 0. Câu 17.13. Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 4 \). Trước tiên, ta sẽ tính giá trị của biểu thức \( A \): \[ A = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} - \frac{4}{\sqrt{5} - 1} \] Ta biết rằng: \[ \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1| \] Vì \( \sqrt{5} > 1 \), nên: \[ |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1 \] Do đó: \[ A = \sqrt{5} - 1 - \frac{4}{\sqrt{5} - 1} \] Rationalize mẫu số của phân số: \[ \frac{4}{\sqrt{5} - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1 \] Vậy: \[ A = \sqrt{5} - 1 - (\sqrt{5} + 1) = \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5} - 1 = -2 \] Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức \( B \): \[ B = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right) : \frac{3\sqrt{x}}{x - 4} \] Tìm chung mẫu số của hai phân số trong ngoặc: \[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2 + \sqrt{x} + 2)}{x - 4} = \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x})}{x - 4} = \frac{2x}{x - 4} \] Do đó: \[ B = \frac{2x}{x - 4} : \frac{3\sqrt{x}}{x - 4} = \frac{2x}{x - 4} \cdot \frac{x - 4}{3\sqrt{x}} = \frac{2x}{3\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{3} \] Ta cần tìm giá trị \( x \) nguyên lớn nhất sao cho \( A + B < 0 \): \[ -2 + \frac{2\sqrt{x}}{3} < 0 \] \[ \frac{2\sqrt{x}}{3} < 2 \] \[ 2\sqrt{x} < 6 \] \[ \sqrt{x} < 3 \] \[ x < 9 \] Vì \( x \) là số nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện trên và \( x > 0 \), \( x \neq 4 \), nên giá trị lớn nhất của \( x \) là 8. Đáp số: \( x = 8 \)