giúp mình với

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tìm giá trị tối ưu. Gọi số xe loại A cần thuê là x (x ≥ 0 và x ≤ 10) Gọi số xe loại B cần thuê là y (y ≥ 0 và y ≤ 9) Theo đề bài, ta có các điều kiện sau: - Số người cần chở là 140 người, nên ta có phương trình: 20x + 10y ≥ 140 - Số hàng cần chở là 9 tấn, nên ta có phương trình: 0,6x + 1,5y ≥ 9 - Chi phí thuê xe là 4 triệu đồng cho mỗi xe loại A và 3 triệu đồng cho mỗi xe loại B, nên ta có phương trình chi phí: f(x, y) = 4x + 3y Bây giờ, ta sẽ giải hệ bất phương trình để tìm các giá trị của x và y thỏa mãn: 1. 20x + 10y ≥ 140 Chia cả hai vế cho 10: 2x + y ≥ 14 2. 0,6x + 1,5y ≥ 9 Nhân cả hai vế với 10 để dễ tính toán hơn: 6x + 15y ≥ 90 Chia cả hai vế cho 3: 2x + 5y ≥ 30 Ta có hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} 2x + y \geq 14 \\ 2x + 5y \geq 30 \end{cases} \] Bây giờ, ta sẽ vẽ đồ thị của các bất phương trình này trên mặt phẳng tọa độ Oxy để tìm vùng giải. 1. Vẽ đường thẳng 2x + y = 14: - Khi x = 0 thì y = 14 - Khi y = 0 thì x = 7 2. Vẽ đường thẳng 2x + 5y = 30: - Khi x = 0 thì y = 6 - Khi y = 0 thì x = 15 Vùng giải của hệ bất phương trình là phần giao của các nửa mặt phẳng do các đường thẳng này tạo thành và nằm trong miền x ≥ 0 và y ≥ 0. Tiếp theo, ta sẽ tìm các điểm cực biên của vùng giải này và tính giá trị của hàm chi phí f(x, y) tại các điểm này để tìm giá trị nhỏ nhất. Các điểm cực biên có thể là: - Giao điểm của 2x + y = 14 và 2x + 5y = 30 - Điểm (0, 14) - Điểm (7, 0) - Điểm (0, 6) - Điểm (15, 0) Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x + y = 14 \\ 2x + 5y = 30 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ (2x + 5y) - (2x + y) = 30 - 14 \\ 4y = 16 \\ y = 4 \] Thay y = 4 vào phương trình 2x + y = 14: \[ 2x + 4 = 14 \\ 2x = 10 \\ x = 5 \] Vậy giao điểm là (5, 4). Bây giờ, ta tính giá trị của hàm chi phí f(x, y) tại các điểm cực biên: - f(0, 14) = 4 0 + 3 14 = 42 triệu đồng - f(7, 0) = 4 7 + 3 0 = 28 triệu đồng - f(0, 6) = 4 0 + 3 6 = 18 triệu đồng - f(15, 0) = 4 15 + 3 0 = 60 triệu đồng - f(5, 4) = 4 5 + 3 4 = 20 + 12 = 32 triệu đồng Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là 18 triệu đồng, đạt được khi x = 0 và y = 6. Vậy, để chi phí thuê xe là thấp nhất, trường học cần thuê 0 xe loại A và 6 xe loại B. Đáp số: 0 xe loại A và 6 xe loại B. Câu 2: Để xác định phương trình parabol \( y = ax^2 + bx + c \) với các thông tin đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ đỉnh của parabol: Parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có đỉnh \( I(2;0) \). Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) được tính theo công thức: \[ x_I = -\frac{b}{2a} \] \[ y_I = c - \frac{b^2}{4a} \] Vì đỉnh \( I(2;0) \), ta có: \[ 2 = -\frac{b}{2a} \quad \text{(1)} \] \[ 0 = c - \frac{b^2}{4a} \quad \text{(2)} \] 2. Xác định tọa độ giao điểm với trục Oy: Parabol cắt trục Oy tại điểm \( M(0;-1) \). Điều này có nghĩa là khi \( x = 0 \), \( y = -1 \). Do đó: \[ -1 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ c = -1 \quad \text{(3)} \] 3. Thay \( c = -1 \) vào phương trình (2): \[ 0 = -1 - \frac{b^2}{4a} \] \[ \frac{b^2}{4a} = -1 \quad \text{(4)} \] 4. Giải phương trình (1) để tìm \( b \) theo \( a \): \[ 2 = -\frac{b}{2a} \] \[ b = -4a \quad \text{(5)} \] 5. Thay \( b = -4a \) vào phương trình (4): \[ \frac{(-4a)^2}{4a} = -1 \] \[ \frac{16a^2}{4a} = -1 \] \[ 4a = -1 \] \[ a = -\frac{1}{4} \] 6. Tìm \( b \) từ phương trình (5): \[ b = -4 \left( -\frac{1}{4} \right) \] \[ b = 1 \] 7. Xác định phương trình parabol: Bây giờ, ta đã có \( a = -\frac{1}{4} \), \( b = 1 \), và \( c = -1 \). Phương trình parabol là: \[ y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1 \] Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1 \] Câu 3: Để giải bất phương trình \(2x - x^2 > |x^2 - 3x + 2|\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các trường hợp dựa trên dấu của biểu thức \(x^2 - 3x + 2\). Ta có: \[ x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \] Biểu thức này có các nghiệm \(x = 1\) và \(x = 2\). Ta sẽ xét các trường hợp dựa trên các khoảng do các nghiệm này tạo ra. Bước 2: Xét các trường hợp. Trường hợp 1: \(x < 1\) Trong khoảng này, \(x^2 - 3x + 2 > 0\), do đó \(|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2\). Bất phương trình trở thành: \[ 2x - x^2 > x^2 - 3x + 2 \] \[ 2x - x^2 - x^2 + 3x - 2 > 0 \] \[ -2x^2 + 5x - 2 > 0 \] \[ 2x^2 - 5x + 2 < 0 \] Giải phương trình \(2x^2 - 5x + 2 = 0\): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{2} \] Do đó, \(2x^2 - 5x + 2 < 0\) trong khoảng \(\left( \frac{1}{2}, 2 \right)\). Tuy nhiên, vì chúng ta đang xét trường hợp \(x < 1\), nên ta chỉ quan tâm đến khoảng \(\left( \frac{1}{2}, 1 \right)\). Trường hợp 2: \(1 \leq x \leq 2\) Trong khoảng này, \(x^2 - 3x + 2 \leq 0\), do đó \(|x^2 - 3x + 2| = -(x^2 - 3x + 2) = -x^2 + 3x - 2\). Bất phương trình trở thành: \[ 2x - x^2 > -x^2 + 3x - 2 \] \[ 2x - x^2 + x^2 - 3x + 2 > 0 \] \[ -x + 2 > 0 \] \[ x < 2 \] Do đó, trong khoảng \(1 \leq x \leq 2\), ta có \(1 \leq x < 2\). Trường hợp 3: \(x > 2\) Trong khoảng này, \(x^2 - 3x + 2 > 0\), do đó \(|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2\). Bất phương trình trở thành: \[ 2x - x^2 > x^2 - 3x + 2 \] \[ 2x - x^2 - x^2 + 3x - 2 > 0 \] \[ -2x^2 + 5x - 2 > 0 \] \[ 2x^2 - 5x + 2 < 0 \] Giải phương trình \(2x^2 - 5x + 2 = 0\): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{2} \] Do đó, \(2x^2 - 5x + 2 < 0\) trong khoảng \(\left( \frac{1}{2}, 2 \right)\). Tuy nhiên, vì chúng ta đang xét trường hợp \(x > 2\), nên không có giá trị nào thỏa mãn. Bước 3: Kết hợp các kết quả từ các trường hợp. Từ các trường hợp trên, ta có: - Trường hợp 1: \( \left( \frac{1}{2}, 1 \right) \) - Trường hợp 2: \( [1, 2) \) Kết hợp lại, ta có: \[ \left( \frac{1}{2}, 2 \right) \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \boxed{\left( \frac{1}{2}, 2 \right)} \] Câu 4: Để tính $I_1$, $I_2$, và $I_3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng trở của đoạn mạch: Vì $R_2$ và $R_3$ mắc nối tiếp, tổng trở của chúng là: \[ R_{23} = R_2 + R_3 = 36~\Omega + 45~\Omega = 81~\Omega \] Đoạn mạch này mắc song song với $R_1$, nên tổng trở của đoạn mạch là: \[ \frac{1}{R_{tổng}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{25} + \frac{1}{81} = \frac{81 + 25}{25 \times 81} = \frac{106}{2025} \] \[ R_{tổng} = \frac{2025}{106} \approx 19.1~\Omega \] 2. Tính cường độ dòng điện của mạch chính ($I_1$): Theo định luật Ohm, cường độ dòng điện của mạch chính là: \[ I_1 = \frac{U}{R_{tổng}} = \frac{60~V}{19.1~\Omega} \approx 3.14~A \] 3. Tính cường độ dòng điện của mạch rẽ ($I_2$ và $I_3$): - Cường độ dòng điện qua $R_2$ và $R_3$ (mạch rẽ) là: \[ I_{23} = \frac{U}{R_{23}} = \frac{60~V}{81~\Omega} \approx 0.74~A \] - Cường độ dòng điện qua $R_1$ là: \[ I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{60~V}{25~\Omega} = 2.4~A \] - Vì $I_1 = I_2 + I_3$, ta có: \[ I_2 + I_3 = 3.14~A \] - Ta biết rằng: \[ I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{60~V}{36~\Omega} \approx 1.67~A \] \[ I_3 = \frac{U}{R_3} = \frac{60~V}{45~\Omega} \approx 1.33~A \] Vậy, các giá trị cần tìm là: \[ I_1 \approx 3.14~A \] \[ I_2 \approx 1.67~A \] \[ I_3 \approx 1.33~A \] Câu 5: Để chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho ba người sao cho có một người được 2 đồ vật và 2 người còn lại mỗi người được 3 đồ vật, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chọn 1 người trong 3 người để nhận 2 đồ vật. Số cách chọn là: \[ C_{3}^{1} = 3 \] Bước 2: Chọn 2 đồ vật trong 8 đồ vật để cho người đã chọn ở bước 1. Số cách chọn là: \[ C_{8}^{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 \] Bước 3: Chia 6 đồ vật còn lại cho 2 người còn lại, mỗi người nhận 3 đồ vật. Số cách chia là: \[ \frac{C_{6}^{3}}{2!} = \frac{\frac{6!}{3!(6-3)!}}{2} = \frac{\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] Tổng số cách chia là: \[ 3 \times 28 \times 10 = 840 \] Vậy có 840 cách chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho ba người sao cho có một người được 2 đồ vật và 2 người còn lại mỗi người được 3 đồ vật. Đáp số: 840 cách Câu 6: Để tính xác suất khi xếp 6 viên bi trên thành một hàng ngang sao cho không có hai viên bi cùng màu đứng cạnh nhau, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tổng số cách xếp 6 viên bi Số cách xếp 6 viên bi không phụ thuộc vào màu sắc của chúng, do đó số cách xếp 6 viên bi là: \[ 6! = 720 \] Bước 2: Xác định số cách xếp sao cho không có hai viên bi cùng màu đứng cạnh nhau Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp loại trừ để tìm số cách xếp sao cho không có hai viên bi cùng màu đứng cạnh nhau. Bước 2.1: Xét trường hợp có ít nhất hai viên bi cùng màu đứng cạnh nhau - Trường hợp 1: Có 2 viên bi xanh đứng cạnh nhau. - Coi 2 viên bi xanh là một nhóm, ta có 5 nhóm (gồm 2 viên bi xanh coi là 1 nhóm và 4 viên bi còn lại). - Số cách xếp 5 nhóm này là: \( 5! = 120 \) - Trong mỗi nhóm, 2 viên bi xanh có thể hoán đổi vị trí với nhau, do đó nhân thêm 2. - Tổng số cách xếp trong trường hợp này là: \( 120 \times 2 = 240 \) - Trường hợp 2: Có 2 viên bi đỏ đứng cạnh nhau. - Tương tự như trên, số cách xếp là: \( 120 \times 2 = 240 \) - Trường hợp 3: Có 2 viên bi vàng đứng cạnh nhau. - Tương tự như trên, số cách xếp là: \( 120 \times 2 = 240 \) - Trường hợp 4: Có 2 viên bi xanh đứng cạnh nhau và 2 viên bi đỏ đứng cạnh nhau. - Coi 2 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ là 2 nhóm, ta có 4 nhóm (gồm 2 nhóm và 2 viên bi vàng). - Số cách xếp 4 nhóm này là: \( 4! = 24 \) - Trong mỗi nhóm, 2 viên bi có thể hoán đổi vị trí với nhau, do đó nhân thêm \( 2 \times 2 = 4 \). - Tổng số cách xếp trong trường hợp này là: \( 24 \times 4 = 96 \) - Trường hợp 5: Có 2 viên bi xanh đứng cạnh nhau và 2 viên bi vàng đứng cạnh nhau. - Tương tự như trên, số cách xếp là: \( 24 \times 4 = 96 \) - Trường hợp 6: Có 2 viên bi đỏ đứng cạnh nhau và 2 viên bi vàng đứng cạnh nhau. - Tương tự như trên, số cách xếp là: \( 24 \times 4 = 96 \) - Trường hợp 7: Có 2 viên bi xanh đứng cạnh nhau, 2 viên bi đỏ đứng cạnh nhau và 2 viên bi vàng đứng cạnh nhau. - Coi 3 nhóm này là 3 nhóm, ta có 3 nhóm. - Số cách xếp 3 nhóm này là: \( 3! = 6 \) - Trong mỗi nhóm, 2 viên bi có thể hoán đổi vị trí với nhau, do đó nhân thêm \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \). - Tổng số cách xếp trong trường hợp này là: \( 6 \times 8 = 48 \) Bước 2.2: Áp dụng nguyên lý bù trừ Số cách xếp sao cho có ít nhất hai viên bi cùng màu đứng cạnh nhau là: \[ 240 + 240 + 240 - 96 - 96 - 96 + 48 = 480 \] Số cách xếp sao cho không có hai viên bi cùng màu đứng cạnh nhau là: \[ 720 - 480 = 240 \] Bước 3: Tính xác suất Xác suất để khi xếp 6 viên bi trên thành một hàng ngang thì không có hai viên bi cùng màu đứng cạnh nhau là: \[ \frac{240}{720} = \frac{1}{3} \] Đáp số: \[ \frac{1}{3} \] Câu 7: Khi tờ giấy được gấp theo mép gấp DE sao cho đỉnh A chạm vào điểm F trên cạnh BC, ta có: - Tam giác ADE và tam giác DFE là hai tam giác bằng nhau (giao tại mép gấp DE). - Vì tam giác ABC là tam giác đều nên góc BAC = 60°. - Khi gấp, đỉnh A chuyển đến điểm F, do đó tam giác ADF là tam giác cân tại D với đáy AF. Ta có: - BF = 9 cm (theo đề bài) - FC = BC - BF = 12 - 9 = 3 cm Vì tam giác ADF là tam giác cân tại D, nên DF = DA. Ta sẽ tính độ dài DF bằng cách sử dụng tính chất của tam giác đều và tam giác cân: - Gọi G là chân đường cao hạ từ D xuống AF, ta có AG = GF vì tam giác ADF là tam giác cân. - Ta có AF = AB - BF = 12 - 9 = 3 cm. - Vì tam giác ADF là tam giác cân, nên AG = GF = $\frac{AF}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$ cm. Bây giờ, ta tính độ dài DF bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác DAG: - AD = 12 cm (cạnh của tam giác đều) - AG = 1,5 cm Áp dụng định lý Pythagoras: \[ DF^2 = AD^2 - AG^2 \] \[ DF^2 = 12^2 - 1,5^2 \] \[ DF^2 = 144 - 2,25 \] \[ DF^2 = 141,75 \] \[ DF = \sqrt{141,75} \approx 11,9 \text{ cm} \] Vậy độ dài mép gấp DE là khoảng 11,9 cm.