Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 2 Ví dụ 11. Cho a, 5, y là nghiệm của $x^3-3x^2+1.$,,a) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là: $\alpha+3,\beta+3,$ và $\gamma+3.$,b) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\frac1{\alpha+3},\frac1{\beta+3},$ và $\frac1{\gamma+3}.$,c) Tính $\frac1{\alpha+3}+\frac1{\beta+3}+\frac1{\gamma+3}.$,d) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\alpha^2,\beta^2.$ và $\gamma^2.$,e) Tìm công thức truy hồi của dãy số $x_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n,$ và dùng nó để tính $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 2 Ví dụ 11. Cho a, 5, y là nghiệm của $x^3-3x^2+1.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/fb35db9389a847c4a60a05979b65b736.jpg />,a) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là: $\alpha+3,\beta+3,$ và $\gamma+3.$,b) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\frac1{\alpha+3},\frac1{\beta+3},$ và $\frac1{\gamma+3}.$,c) Tính $\frac1{\alpha+3}+\frac1{\beta+3}+\frac1{\gamma+3}.$,d) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\alpha^2,\beta^2.$ và $\gamma^2.$,e) Tìm công thức truy hồi của dãy số $x_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n,$ và dùng nó để tính $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$

Accepted Answer

Ví dụ 11:
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là: $\alpha+3,\beta+3,$ và $\gamma+3.$

Cho đa thức ban đầu là $P(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ với các nghiệm $\alpha, \beta, \gamma$.

Ta cần tìm đa thức mới $Q(x)$ có nghiệm là $\alpha+3, \beta+3, \gamma+3$.

Đặt $y = x - 3$, khi đó $x = y + 3$.

Thay vào đa thức ban đầu:

$$ P(y+3) = (y+3)^3 - 3(y+3)^2 + 1 $$

Khai triển:

$$
(y+3)^3 = y^3 + 9y^2 + 27y + 27
$$
$$
3(y+3)^2 = 3(y^2 + 6y + 9) = 3y^2 + 18y + 27
$$

Do đó:

$$
P(y+3) = y^3 + 9y^2 + 27y + 27 - 3y^2 - 18y - 27 + 1
$$

Rút gọn:

$$
P(y+3) = y^3 + 6y^2 + 9y + 1
$$

Vậy đa thức cần tìm là $Q(x) = x^3 + 6x^2 + 9x + 1$.

b) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\frac{1}{\alpha+3},\frac{1}{\beta+3},$ và $\frac{1}{\gamma+3}.$

Đa thức $Q(x)$ có nghiệm $\alpha+3, \beta+3, \gamma+3$.

Đa thức mới $R(x)$ có nghiệm là $\frac{1}{\alpha+3}, \frac{1}{\beta+3}, \frac{1}{\gamma+3}$.

Đặt $z = \frac{1}{x}$, khi đó $x = \frac{1}{z}$.

Thay vào $Q(x)$:

$$ Q\left(\frac{1}{z}\right) = \left(\frac{1}{z}\right)^3 + 6\left(\frac{1}{z}\right)^2 + 9\left(\frac{1}{z}\right) + 1 = 0 $$

Nhân cả hai vế với $z^3$:

$$ 1 + 6z + 9z^2 + z^3 = 0 $$

Vậy đa thức cần tìm là $R(x) = x^3 + 9x^2 + 6x + 1$.

c) Tính $\frac{1}{\alpha+3}+\frac{1}{\beta+3}+\frac{1}{\gamma+3}.$

Tổng các nghiệm của $R(x)$ là:

$$
-\frac{\text{hệ số của } x^2}{\text{hệ số của } x^3} = -\frac{9}{1} = -9
$$

Vậy $\frac{1}{\alpha+3}+\frac{1}{\beta+3}+\frac{1}{\gamma+3} = -9$.

d) Tìm đa thức bậc ba có nghiệm là $\alpha^2,\beta^2,$ và $\gamma^2.$

Ta có:

$$
\alpha^3 = 3\alpha^2 - 1, \quad \beta^3 = 3\beta^2 - 1, \quad \gamma^3 = 3\gamma^2 - 1
$$

Đặt $S_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$.

Với $n = 2$, ta có:

$$
S_2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2
$$

Với $n = 3$, ta có:

$$
S_3 = \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3S_2 - 3
$$

Vậy đa thức cần tìm là $T(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$.

e) Tìm công thức truy hồi của dãy số $x_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n,$ và dùng nó để tính $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$.

Ta có:

$$
\alpha^3 = 3\alpha^2 - 1 \Rightarrow \alpha^n = 3\alpha^{n-1} - \alpha^{n-2}
$$

Tương tự cho $\beta$ và $\gamma$.

Vậy công thức truy hồi là:

$$
x_n = 3x_{n-1} - x_{n-2}
$$

Với $x_0 = 3$, $x_1 = 3$, $x_2 = 9$.

Tính $x_3$:

$$
x_3 = 3x_2 - x_1 = 3 \times 9 - 3 = 24
$$

Tính $x_4$:

$$
x_4 = 3x_3 - x_2 = 3 \times 24 - 9 = 63
$$

Tính $x_5$:

$$
x_5 = 3x_4 - x_3 = 3 \times 63 - 24 = 165
$$

Vậy $\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5 = 165$.