giải giúp mình

Câu 36: Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định góc còn lại của tam giác ABC và sau đó sử dụng định lý sin để tính độ dài cạnh AC hoặc BC. Tuy nhiên, do đề bài không rõ ràng về việc cần tính độ dài cạnh nào, tôi sẽ hướng dẫn cách tính diện tích tam giác ABC. Bước 1: Tính góc C Tam giác ABC có tổng ba góc bằng \(180^\circ\). Do đó, góc C được tính như sau: \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 68^\circ 12' - 34^\circ 44' \] Chúng ta cần thực hiện phép trừ: - Trước tiên, chuyển đổi phút thành độ: \(68^\circ 12' = 68^\circ + \frac{12}{60}^\circ = 68.2^\circ\) - Tương tự, \(34^\circ 44' = 34^\circ + \frac{44}{60}^\circ = 34.7333^\circ\) Tính toán: \[ C = 180^\circ - 68.2^\circ - 34.7333^\circ = 77.0667^\circ \] Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC Sử dụng công thức diện tích tam giác với hai cạnh và góc xen giữa: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin C \] Tuy nhiên, để tính diện tích, chúng ta cần biết độ dài của cạnh AC hoặc BC. Do đề bài không cung cấp đủ thông tin để tính diện tích trực tiếp, chúng ta sẽ sử dụng định lý sin để tìm một cạnh khác. Bước 3: Sử dụng định lý sin Định lý sin cho tam giác ABC: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \] Từ đó, ta có thể tính độ dài cạnh AC hoặc BC. Giả sử chúng ta cần tính AC: \[ AC = \frac{AB \times \sin B}{\sin C} \] Tính toán: - \(\sin B = \sin 34^\circ 44'\) - \(\sin C = \sin 77.0667^\circ\) Sau khi tính được AC, chúng ta có thể tính diện tích tam giác ABC bằng công thức đã nêu ở Bước 2. Kết luận Do đề bài không rõ ràng về việc cần tính độ dài cạnh nào hoặc diện tích, tôi đã hướng dẫn cách tính diện tích tam giác ABC. Nếu cần tính độ dài cụ thể của một cạnh, vui lòng cung cấp thêm thông tin. Câu 37: Để chọn công thức đúng cho diện tích tam giác, ta cần nhớ công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa. Công thức này là: \[ S = \frac{1}{2}ab\sin C \] Trong đó \( a \) và \( b \) là hai cạnh của tam giác, và \( C \) là góc xen giữa hai cạnh đó. Bây giờ, ta sẽ xem xét từng đáp án: - Đáp án A: \( S = \frac{1}{2}bc\sin A \) Ở đây, \( b \) và \( c \) là hai cạnh, và \( A \) là góc xen giữa. Công thức này đúng với điều kiện \( A \) là góc xen giữa hai cạnh \( b \) và \( c \). - Đáp án B: \( S = \frac{1}{2}ac\sin A \) Ở đây, \( a \) và \( c \) là hai cạnh, và \( A \) là góc xen giữa. Công thức này không đúng vì \( A \) không phải là góc xen giữa hai cạnh \( a \) và \( c \). - Đáp án C: \( S = \frac{1}{2}bc\sin B \) Ở đây, \( b \) và \( c \) là hai cạnh, nhưng \( B \) không phải là góc xen giữa hai cạnh này. Do đó, công thức này không đúng. - Đáp án D: \( S = \frac{1}{2}bc\sin B \) Đây là lặp lại của đáp án C và cũng không đúng vì lý do tương tự. Vậy, công thức đúng là đáp án A: \( S = \frac{1}{2}bc\sin A \). Câu 38: Để tìm diện tích của hình thoi ABCD, ta cần sử dụng công thức tính diện tích của hình thoi dựa vào độ dài cạnh và góc giữa hai cạnh kề. Hình thoi ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và góc $BAD = 30^\circ$. Để tính diện tích hình thoi, ta có thể sử dụng công thức: \[ S = a^2 \cdot \sin(\text{góc giữa hai cạnh kề}) \] Với hình thoi ABCD, góc giữa hai cạnh kề là góc $BAD = 30^\circ$. Do đó, diện tích của hình thoi là: \[ S = a^2 \cdot \sin(30^\circ) \] Ta biết rằng $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, do đó: \[ S = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \] Vậy diện tích của hình thoi ABCD là $\frac{a^2}{2}$. Do đó, đáp án đúng là B. $\frac{a^2}{2}$. Câu 39: Để tính diện tích tam giác \(ABC\) với các cạnh \(AB = 3\), \(BC = 5\), và \(CA = 6\), ta có thể sử dụng công thức Heron. Công thức Heron cho phép tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh. Bước 1: Tính nửa chu vi của tam giác: \[ s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{3 + 5 + 6}{2} = 7 \] Bước 2: Áp dụng công thức Heron để tính diện tích \(S\): \[ S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - CA)} \] Thay các giá trị vào công thức: \[ S = \sqrt{7(7 - 3)(7 - 5)(7 - 6)} = \sqrt{7 \times 4 \times 2 \times 1} \] Bước 3: Tính toán: \[ S = \sqrt{56} \] Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \(\sqrt{56}\). Đáp án đúng là A. \(\sqrt{56}\). Câu 40: Để tính diện tích \( S \) của tam giác \( \Delta ABC \) với các cạnh \( a = 6 \), \( b = 8 \), \( c = 10 \), ta có thể sử dụng công thức Heron. Công thức Heron cho diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh là: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] trong đó \( p \) là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] Bây giờ, ta tính \( p \): \[ p = \frac{6 + 8 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] Tiếp theo, ta thay các giá trị vào công thức Heron: \[ S = \sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)} \] \[ S = \sqrt{12 \times 6 \times 4 \times 2} \] \[ S = \sqrt{576} \] \[ S = 24 \] Vậy diện tích của tam giác \( \Delta ABC \) là 24. Do đó, đáp án đúng là B. 24. Câu 41: Để tìm diện tích của tam giác \( \Delta ABC \), ta có thể sử dụng công thức diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B \] Trong bài toán này, ta có: - \( a = 4 \) - \( c = 5 \) - \( B = 150^\circ \) Trước tiên, ta cần tính \( \sin 150^\circ \). Ta biết rằng: \[ \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Thay các giá trị vào công thức diện tích: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{1}{2} = \frac{20}{4} = 5 \] Vậy diện tích của tam giác \( \Delta ABC \) là 5. Do đó, đáp án đúng là B. 5. Câu 43: Để tính diện tích của tam giác $\Delta ABC$ với các điểm $A(1;-2)$, $B(-2;3)$, $C(0;4)$, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh: Diện tích $S$ của tam giác có tọa độ các đỉnh $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ được tính theo công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Áp dụng công thức trên cho tam giác $\Delta ABC$: - $x_1 = 1$, $y_1 = -2$ - $x_2 = -2$, $y_2 = 3$ - $x_3 = 0$, $y_3 = 4$ Thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| 1(3-4) + (-2)(4+2) + 0(-2-3) \right| \] Tính từng phần: - $1(3-4) = 1 \times (-1) = -1$ - $(-2)(4+2) = -2 \times 6 = -12$ - $0(-2-3) = 0 \times (-5) = 0$ Cộng các giá trị lại: \[ S = \frac{1}{2} \left| -1 - 12 + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| -13 \right| = \frac{1}{2} \times 13 = \frac{13}{2} \] Vậy diện tích của tam giác $\Delta ABC$ là $\frac{13}{2}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{13}{2}$. Câu 44: Để tính diện tích của tam giác \( \Delta ABC \) với các đỉnh \( A(1;-1) \), \( B(3;-3) \), \( C(6;0) \), ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Với \( A(1;-1) \), \( B(3;-3) \), \( C(6;0) \), ta có: - \( x_1 = 1, y_1 = -1 \) - \( x_2 = 3, y_2 = -3 \) - \( x_3 = 6, y_3 = 0 \) Thay vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| 1((-3) - 0) + 3(0 - (-1)) + 6((-1) - (-3)) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 1 \times (-3) + 3 \times 1 + 6 \times 2 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -3 + 3 + 12 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 12 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \] Vậy diện tích của tam giác \( \Delta ABC \) là 6. Đáp án đúng là B. 6. Câu 45: Để tính diện tích của tam giác \(ABC\) với các cạnh \(a = 4\), \(b = 6\), \(c = 8\), ta có thể sử dụng công thức Heron. Công thức Heron cho diện tích \(S\) của tam giác với độ dài các cạnh \(a\), \(b\), \(c\) là: \[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] trong đó \(s\) là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng: \[ s = \frac{a+b+c}{2} \] Bây giờ, ta tính \(s\): \[ s = \frac{4 + 6 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] Tiếp theo, ta tính các hiệu \(s-a\), \(s-b\), và \(s-c\): \[ s-a = 9 - 4 = 5 \] \[ s-b = 9 - 6 = 3 \] \[ s-c = 9 - 8 = 1 \] Thay các giá trị này vào công thức Heron: \[ S = \sqrt{9 \times 5 \times 3 \times 1} = \sqrt{135} \] Ta có thể viết lại \(\sqrt{135}\) dưới dạng: \[ \sqrt{135} = \sqrt{9 \times 15} = \sqrt{9} \times \sqrt{15} = 3\sqrt{15} \] Vậy diện tích của tam giác là \(3\sqrt{15}\). Do đó, đáp án đúng là \(B.~3\sqrt{15}.\) Câu 46: Để giải bài toán này, ta cần tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC\) với các thông tin đã cho: \(AB = 2\), \(BC = 3\) và \(\angle ABC = 60^\circ\). Bước 1: Tính độ dài cạnh \(AC\) sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) có dạng: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), ta có: \[ AC^2 = 4 + 9 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AC^2 = 13 - 6 = 7 \] Do đó, \(AC = \sqrt{7}\). Bước 2: Tính chu vi của tam giác \(ABC\). Chu vi của tam giác là tổng độ dài các cạnh: \[ P = AB + BC + AC = 2 + 3 + \sqrt{7} = 5 + \sqrt{7} \] Bước 3: Tính diện tích của tam giác \(ABC\) sử dụng công thức diện tích với góc. Diện tích \(S\) của tam giác có thể tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) \] Với \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] Kết luận: Chu vi của tam giác \(ABC\) là \(5 + \sqrt{7}\) và diện tích là \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\). Vậy đáp án đúng là \(B.~5+\sqrt7\) và \(\frac{3\sqrt3}2\). Câu 47: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức Heron cho diện tích tam giác và công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác. Trước tiên, ta nhắc lại công thức tính độ dài trung tuyến. Trung tuyến $m_a$ từ đỉnh A đến cạnh BC được tính theo công thức: \[ m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} \] Tương tự, ta có: \[ m_b = \sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}} \] \[ m_c = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} \] Với các giá trị đã cho: $m_a = 15$, $m_b = 12$, $m_c = 9$, ta có hệ phương trình: 1. \(\sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} = 15\) 2. \(\sqrt{\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}} = 12\) 3. \(\sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = 9\) Bình phương cả hai vế của từng phương trình, ta có: 1. \(\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} = 225\) \(\Rightarrow 2b^2 + 2c^2 - a^2 = 900\) 2. \(\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = 144\) \(\Rightarrow 2a^2 + 2c^2 - b^2 = 576\) 3. \(\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} = 81\) \(\Rightarrow 2a^2 + 2b^2 - c^2 = 324\) Giải hệ phương trình này, ta cộng tất cả các phương trình lại: \[ (2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) + (2a^2 + 2b^2 - c^2) = 900 + 576 + 324 \] \[ 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 - (a^2 + b^2 + c^2) = 1800 \] \[ 3(a^2 + b^2 + c^2) = 1800 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 600 \] Thay vào từng phương trình để tìm các giá trị $a^2$, $b^2$, $c^2$: 1. \(2b^2 + 2c^2 - a^2 = 900\) 2. \(2a^2 + 2c^2 - b^2 = 576\) 3. \(2a^2 + 2b^2 - c^2 = 324\) Từ đó, ta có thể tính diện tích tam giác bằng công thức Heron hoặc sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết độ dài các trung tuyến: \[ S = \frac{4}{3} \sqrt{s(s - m_a)(s - m_b)(s - m_c)} \] Với \(s = \frac{m_a + m_b + m_c}{2} = \frac{15 + 12 + 9}{2} = 18\). Thay vào công thức: \[ S = \frac{4}{3} \sqrt{18(18 - 15)(18 - 12)(18 - 9)} \] \[ S = \frac{4}{3} \sqrt{18 \times 3 \times 6 \times 9} \] \[ S = \frac{4}{3} \sqrt{2916} \] \[ S = \frac{4}{3} \times 54 = 72 \] Vậy diện tích của tam giác là 72. Đáp án đúng là A. 72.