Giupssssss

Bài 16. Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \). a) So sánh \( A \) với 1: \[ A = \frac{-5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \] So sánh \( A \) với 1: \[ A - 1 = \frac{-5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} - 1 = \frac{-5\sqrt{x} + 2 - (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} = \frac{-6\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} \] Ta thấy rằng \( -6\sqrt{x} - 1 < 0 \) vì \( \sqrt{x} \geq 0 \). Do đó: \[ A - 1 < 0 \Rightarrow A < 1 \] b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \): \[ A = \frac{-5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), ta xét giới hạn của \( A \) khi \( x \to 0 \) và \( x \to \infty \): - Khi \( x \to 0 \): \( \sqrt{x} \to 0 \) \[ A = \frac{-5(0) + 2}{0 + 3} = \frac{2}{3} \] - Khi \( x \to \infty \): \( \sqrt{x} \to \infty \) \[ A = \frac{-5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \approx \frac{-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = -5 \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( A \) là \( \frac{2}{3} \), đạt được khi \( x = 0 \). c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( M = A - \frac{27}{\sqrt{x} + 3} \): \[ M = \frac{-5\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{27}{\sqrt{x} + 3} = \frac{-5\sqrt{x} + 2 - 27}{\sqrt{x} + 3} = \frac{-5\sqrt{x} - 25}{\sqrt{x} + 3} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( M \), ta xét giới hạn của \( M \) khi \( x \to 0 \) và \( x \to \infty \): - Khi \( x \to 0 \): \( \sqrt{x} \to 0 \) \[ M = \frac{-5(0) - 25}{0 + 3} = \frac{-25}{3} \] - Khi \( x \to \infty \): \( \sqrt{x} \to \infty \) \[ M = \frac{-5\sqrt{x} - 25}{\sqrt{x} + 3} \approx \frac{-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = -5 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( -\frac{25}{3} \), đạt được khi \( x = 0 \). Đáp số: a) \( A < 1 \) b) Giá trị lớn nhất của \( A \) là \( \frac{2}{3} \), đạt được khi \( x = 0 \) c) Giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( -\frac{25}{3} \), đạt được khi \( x = 0 \) Bài 13. a) Thay $x=4$ vào biểu thức $A$, ta được: \[ A = \frac{\sqrt{4} + 1}{4 + \sqrt{4} + 1} = \frac{2 + 1}{4 + 2 + 1} = \frac{3}{7} \] b) Ta có: \[ B = \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số của hai phân số trong biểu thức $B$: \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)} + \frac{x\sqrt{x} - 1}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{x - \sqrt{x} + x\sqrt{x} - 1}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{x + x\sqrt{x} - \sqrt{x} - 1}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{x(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)} \] Bây giờ, ta sẽ rút gọn biểu thức $C = \frac{A}{B}$: \[ C = \frac{\frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1}}{\frac{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}} \] \[ C = \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} \cdot \frac{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} \] \[ C = \frac{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - 1)} \] c) Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C$, ta xét: \[ C = \frac{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - 1)} \] Ta thấy rằng khi $x = 0$, biểu thức $C$ không xác định do mẫu số bằng 0. Do đó, ta cần tìm giá trị của $x$ sao cho biểu thức $C$ đạt giá trị nhỏ nhất. Ta thử thay $x = 1$ vào biểu thức $C$: \[ C = \frac{(1\sqrt{1} - 1)(\sqrt{1} - 1)}{(1 + \sqrt{1} + 1)(1 - 1)} \] \[ C = \frac{(1 - 1)(1 - 1)}{(1 + 1 + 1)(0)} \] \[ C = \frac{0}{0} \] Do đó, biểu thức $C$ không xác định khi $x = 1$. Ta cần tìm giá trị khác của $x$ để biểu thức $C$ đạt giá trị nhỏ nhất. Ta thử thay $x = 4$ vào biểu thức $C$: \[ C = \frac{(4\sqrt{4} - 1)(\sqrt{4} - 1)}{(4 + \sqrt{4} + 1)(4 - 1)} \] \[ C = \frac{(4 \cdot 2 - 1)(2 - 1)}{(4 + 2 + 1)(3)} \] \[ C = \frac{(8 - 1)(1)}{(7)(3)} \] \[ C = \frac{7}{21} \] \[ C = \frac{1}{3} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C$ là $\frac{1}{3}$, đạt được khi $x = 4$.