giải câu C bằng vi phân giúp mình với

Để giải tích phân $\int \sin 3x \cdot \sin 2x \cdot \sin x \, dx$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi tích thành tổng và sau đó thực hiện tích phân từng phần. Bước 1: Biến đổi tích thành tổng Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] \] Áp dụng vào bài toán: \[ \sin 3x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2} [\cos(3x - 2x) - \cos(3x + 2x)] = \frac{1}{2} [\cos x - \cos 5x] \] Do đó: \[ \sin 3x \cdot \sin 2x \cdot \sin x = \left(\frac{1}{2} [\cos x - \cos 5x]\right) \cdot \sin x \] Bước 2: Nhân và biến đổi tiếp tục \[ = \frac{1}{2} (\cos x \cdot \sin x - \cos 5x \cdot \sin x) \] Sử dụng lại công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \cos x \cdot \sin x = \frac{1}{2} [\sin(2x) - \sin(0)] = \frac{1}{2} \sin(2x) \] \[ \cos 5x \cdot \sin x = \frac{1}{2} [\sin(6x) - \sin(4x)] \] Do đó: \[ \sin 3x \cdot \sin 2x \cdot \sin x = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} [\sin(6x) - \sin(4x)] \right) \] \[ = \frac{1}{4} \sin(2x) - \frac{1}{4} \sin(6x) + \frac{1}{4} \sin(4x) \] Bước 3: Tích phân từng phần \[ \int \sin 3x \cdot \sin 2x \cdot \sin x \, dx = \int \left( \frac{1}{4} \sin(2x) - \frac{1}{4} \sin(6x) + \frac{1}{4} \sin(4x) \right) \, dx \] Tích phân từng phần: \[ = \frac{1}{4} \int \sin(2x) \, dx - \frac{1}{4} \int \sin(6x) \, dx + \frac{1}{4} \int \sin(4x) \, dx \] \[ = \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{6} \cos(6x) \right) + \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{4} \cos(4x) \right) + C \] \[ = -\frac{1}{8} \cos(2x) + \frac{1}{24} \cos(6x) - \frac{1}{16} \cos(4x) + C \] Vậy kết quả cuối cùng là: \[ \int \sin 3x \cdot \sin 2x \cdot \sin x \, dx = -\frac{1}{8} \cos(2x) + \frac{1}{24} \cos(6x) - \frac{1}{16} \cos(4x) + C \]