Giúp mình với! Câu 61. (Sở Bình Phước 2023) Cho hàm số $f(x)$ đồng biến và có đạo hàm li,tục trên $[1;3],$ thỏa mãn $x^2+4x^2f(x)=[f^1(x)]^2,\forall x\in[1;3],f(2)=2.$ Tính $I=\int^3_1f(x)dx.$

Question

Accepted Answer

Câu 61.
Đặt $g(x)=\frac{f(x)}{x}$. Ta có:
$g'(x)=\frac{x.f'(x)-f(x)}{x^{2}}$
Mà $x^2+4x^2f(x)=[f'(x)]^2,\forall x\in[1;3]$
Suy ra $x^2+4x^2f(x)\geq 0,\forall x\in[1;3]$
Hay $1+4f(x)\geq 0,\forall x\in[1;3]$
Từ đó suy ra $f(x)\geq -\frac{1}{4},\forall x\in[1;3]$ (1)
Ta lại có:
$(x.f'(x)-f(x))^2=x^2.[f'(x)]^2-2x.f(x).f'(x)+f^2(x)$
$=x^2.(x^2+4x^2f(x))-2x.f(x).f'(x)+f^2(x)$
$=x^4+4x^4f(x)-2x.f(x).f'(x)+f^2(x)$
$=(x^2-f(x))^2+4x^4f(x)-2x.f(x).f'(x)+4x^2f(x)$
$=(x^2-f(x))^2+2x.f(x).(2x^3+2x-f'(x))$
Theo (1) ta có $2x^3+2x-f'(x)>0,\forall x\in[1;3]$
Do đó $(x.f'(x)-f(x))^2>0,\forall x\in[1;3]$
Suy ra $g'(x)
eq 0,\forall x\in[1;3]$
Mặt khác $f(x)$ đồng biến trên $[1;3]$ nên $f'(x)>0,\forall x\in[1;3]$
Do đó $g'(x)>0,\forall x\in[1;3]$
Suy ra $g(x)$ đồng biến trên $[1;3]$
Mà $g(2)=\frac{f(2)}{2}=1$
Suy ra $g(x)\leq 1,\forall x\in[1;2)$ và $g(x)\geq 1,\forall x\in(2;3]$
Do đó $g(x)=1,\forall x\in[1;3]$
Suy ra $f(x)=x,\forall x\in[1;3]$
Vậy $I=\int^3_1f(x)dx=\int^3_1xdx=\frac{x^2}{2}\mid^3_1=4$