cho x y z là số thực khác 0 thỏa mãn $\frac{y+z+1}{x}+\frac{x+z+2}{y}+\frac{x+y-3}{z}=\frac{1}{x+y+z}$ và $x+y+z\ne0$ .Tính giá trị biểu thức A = $4050x+y^{2025}+z^{2025}$

Điều kiện: \(x, y, z \neq 0\) và \(x + y + z \neq 0\). Ta có: \[ \frac{y+z+1}{x} + \frac{x+z+2}{y} + \frac{x+y-3}{z} = \frac{1}{x+y+z} \] Nhân cả 2 vế với \(xyz(x + y + z)\): \[ (y + z + 1)yz(x + y + z) + (x + z + 2)xz(x + y + z) + (x + y - 3)xy(x + y + z) = xyz \] Phân tích và nhóm các hạng tử: \[ (y + z + 1)yz(x + y + z) + (x + z + 2)xz(x + y + z) + (x + y - 3)xy(x + y + z) = xyz \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ (y + z + 1)yz(x + y + z) + (x + z + 2)xz(x + y + z) + (x + y - 3)xy(x + y + z) - xyz = 0 \] Nhóm lại: \[ (y + z + 1)yz(x + y + z) + (x + z + 2)xz(x + y + z) + (x + y - 3)xy(x + y + z) - xyz = 0 \] Chia cả 2 vế cho \(xyz(x + y + z)\): \[ \frac{(y + z + 1)yz(x + y + z)}{xyz(x + y + z)} + \frac{(x + z + 2)xz(x + y + z)}{xyz(x + y + z)} + \frac{(x + y - 3)xy(x + y + z)}{xyz(x + y + z)} - \frac{xyz}{xyz(x + y + z)} = 0 \] Rút gọn: \[ \frac{y + z + 1}{x} + \frac{x + z + 2}{y} + \frac{x + y - 3}{z} - \frac{1}{x + y + z} = 0 \] Do đó: \[ \frac{y + z + 1}{x} + \frac{x + z + 2}{y} + \frac{x + y - 3}{z} = \frac{1}{x + y + z} \] Ta thấy rằng: \[ \frac{y + z + 1}{x} + \frac{x + z + 2}{y} + \frac{x + y - 3}{z} = \frac{1}{x + y + z} \] Điều này chỉ đúng nếu \(x = y = z = -1\). Thay vào biểu thức \(A = 4050x + y^{2025} + z^{2025}\): \[ A = 4050(-1) + (-1)^{2025} + (-1)^{2025} = -4050 - 1 - 1 = -4052 \] Vậy giá trị của biểu thức \(A\) là \(-4052\).