Giải giúp e

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính tích phân $\int \frac{dx}{5x-2}$. Bước 1: Xác định phương pháp tính tích phân. Phương pháp này dựa trên công thức tích phân cơ bản $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C$. Bước 2: Áp dụng phương pháp vào bài toán. Trong bài toán này, ta có $f(x) = 5x - 2$. Ta thấy rằng $f'(x) = 5$. Do đó, ta có thể viết lại tích phân như sau: \[ \int \frac{dx}{5x-2} = \int \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{5x-2} dx = \frac{1}{5} \int \frac{5}{5x-2} dx \] Bước 3: Tính tích phân. Áp dụng công thức tích phân cơ bản, ta có: \[ \frac{1}{5} \int \frac{5}{5x-2} dx = \frac{1}{5} \ln |5x-2| + C \] Vậy đáp án đúng là: A. $\int \frac{dx}{5x-2} = \frac{1}{5} \ln |5x-2| + C$ Đáp án: A. $\int \frac{dx}{5x-2} = \frac{1}{5} \ln |5x-2| + C$ Câu 6: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn phân thức \( \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \). Ta thấy rằng: \[ x^2 - x + 1 = (x^2 - x) + 1 = x(x - 1) + 1 \] Do đó: \[ \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \frac{x(x - 1) + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong biểu thức rút gọn. Nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] Nguyên hàm của \( \frac{1}{x - 1} \): \[ \int \frac{1}{x - 1} \, dx = \ln |x - 1| + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau. Họ nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ \int \left( x + \frac{1}{x - 1} \right) \, dx = \frac{x^2}{2} + \ln |x - 1| + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân tổng quát. Vậy đáp án đúng là: C. \( \frac{x^2}{2} + \ln |x - 1| + C \). Câu 7: Để tìm nguyên hàm của hàm số $\int(x^2 + \frac{3}{x} - 2\sqrt{x}) \, dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ. 1. Tính nguyên hàm của $x^2$: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] 2. Tính nguyên hàm của $\frac{3}{x}$: \[ \int \frac{3}{x} \, dx = 3 \int \frac{1}{x} \, dx = 3 \ln |x| + C_2 \] 3. Tính nguyên hàm của $-2\sqrt{x}$: \[ \int -2\sqrt{x} \, dx = -2 \int x^{1/2} \, dx = -2 \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} + C_3 = -2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C_3 = -\frac{4}{3} x^{3/2} + C_3 \] Gộp lại ta có: \[ \int(x^2 + \frac{3}{x} - 2\sqrt{x}) \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 \ln |x| - \frac{4}{3} x^{3/2} + C \] Trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là: D. $\frac{x^3}{3} - 3 \ln |x| - \frac{4}{3} \sqrt{x^3} + C$ Nhưng cần lưu ý rằng trong đáp án D, có một lỗi nhỏ về ký hiệu $\sqrt{x^3}$ nên đáp án đúng theo yêu cầu của đề bài là: D. $\frac{x^3}{3} - 3 \ln |x| - \frac{4}{3} x^{3/2} + C$ Đáp án: D. $\frac{x^3}{3} - 3 \ln |x| - \frac{4}{3} x^{3/2} + C$ Câu 8: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x+\frac{3}{\sin^2x}$, ta thực hiện như sau: 1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số. - Nguyên hàm của $2\sin x$ là $-2\cos x + C_1$, vì $\int 2\sin x dx = -2\cos x + C_1$. - Nguyên hàm của $\frac{3}{\sin^2x}$ là $-3\cot x + C_2$, vì $\int \frac{3}{\sin^2x} dx = 3\int \csc^2x dx = -3\cot x + C_2$. 2. Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau: $\int f(x) dx = \int (2\sin x + \frac{3}{\sin^2x}) dx = -2\cos x - 3\cot x + C$. Trong đó, $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Do đó, nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $-2\cos x - 3\cot x + C$. Vậy đáp án đúng là: A. $-2\cos x - 3\cot x + C$. Câu 9: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = (2x - 3)^2 \) thỏa mãn \( F(-1) = -17 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Ta có: \[ f(x) = (2x - 3)^2 \] Áp dụng công thức nguyên hàm của dạng \( (ax + b)^n \): \[ \int (2x - 3)^2 \, dx = \frac{(2x - 3)^3}{3 \cdot 2} + C = \frac{(2x - 3)^3}{6} + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(-1) = -17 \). Thay \( x = -1 \) vào \( F(x) \): \[ F(-1) = \frac{(2(-1) - 3)^3}{6} + C = -17 \] \[ F(-1) = \frac{(-2 - 3)^3}{6} + C = -17 \] \[ F(-1) = \frac{(-5)^3}{6} + C = -17 \] \[ F(-1) = \frac{-125}{6} + C = -17 \] Giải phương trình để tìm \( C \): \[ \frac{-125}{6} + C = -17 \] \[ C = -17 + \frac{125}{6} \] \[ C = \frac{-102 + 125}{6} \] \[ C = \frac{23}{6} \] Bước 3: Viết phương trình nguyên hàm \( F(x) \) đầy đủ. \[ F(x) = \frac{(2x - 3)^3}{6} + \frac{23}{6} \] Bước 4: Đưa về dạng tổng quát. \[ F(x) = \frac{(2x - 3)^3}{6} + \frac{23}{6} \] Chúng ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ F(x) = \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + \frac{2}{3} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + \frac{2}{3} \). Câu 10: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2024 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử trong \( f(x) \). \[ \int \left( \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2024 \right) dx = \int \frac{1}{3}x^3 dx - \int 2x^2 dx + \int x dx - \int 2024 dx \] Bước 2: Tính nguyên hàm từng hạng tử. \[ \int \frac{1}{3}x^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{12}x^4 \] \[ \int 2x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3 \] \[ \int x dx = \frac{x^2}{2} \] \[ \int 2024 dx = 2024x \] Bước 3: Gộp lại để tìm nguyên hàm tổng quát. \[ F(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2024x + C \] Bước 4: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(1) = -2024 \). \[ F(1) = \frac{1}{12}(1)^4 - \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 - 2024(1) + C = -2024 \] \[ \frac{1}{12} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2024 + C = -2024 \] \[ \frac{1}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} - 2024 + C = -2024 \] \[ \frac{1 - 8 + 6}{12} - 2024 + C = -2024 \] \[ \frac{-1}{12} - 2024 + C = -2024 \] \[ C = \frac{1}{12} \] Bước 5: Viết nguyên hàm cuối cùng. \[ F(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2024x + \frac{1}{12} \] Vậy đáp án đúng là: C. \( \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2024x + \frac{1}{12} \). Câu 11: Để tính tích phân $\int \left( \frac{1}{2x} + x^3 \right) dx$, ta thực hiện như sau: 1. Tính tích phân từng phần: \[ \int \left( \frac{1}{2x} + x^3 \right) dx = \int \frac{1}{2x} dx + \int x^3 dx \] 2. Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int \frac{1}{2x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2} \ln |x| \] \[ \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} \] 3. Kết hợp lại: \[ \int \left( \frac{1}{2x} + x^3 \right) dx = \frac{1}{2} \ln |x| + \frac{x^4}{4} + C \] So sánh với biểu thức đã cho $\int \left( \frac{1}{2x} + x^3 \right) dx = a \ln |x| + bx^4 + C$, ta nhận thấy: \[ a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{4} \] 4. Tính $a^2 + b$: \[ a^2 + b = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{1}{2}$ Đáp số: D. $\frac{1}{2}$ Câu 12: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^3 + 2x$, ta thực hiện như sau: Nguyên hàm của $x^3$ là $\frac{x^4}{4}$. Nguyên hàm của $2x$ là $x^2$. Do đó, nguyên hàm của $f(x)$ có dạng: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + x^2 + C \] So sánh với $F(x) = ax^4 + bx^2$, ta nhận thấy: \[ a = \frac{1}{4}, \quad b = 1 \] Bây giờ, ta tính $T = 4a + b$: \[ T = 4 \left( \frac{1}{4} \right) + 1 = 1 + 1 = 2 \] Vậy đáp án đúng là: C. $T = 2$. Câu 1: a) Ta có $\int f(x)dx=\int x^2 dx=\frac{x^3}3+C.$ Vậy khẳng định đúng. b) Ta có $F(x)=\frac{x^3}3+C.$ Thay $x=3$ và $F(3)=1$ vào ta có $\frac{3^3}3+C=1.$ Suy ra $C=-8.$ Vậy $F(x)=\frac{x^3}3-8.$ Do đó $F(4)=\frac{4^3}3-8=\frac{40}3.$ Vậy khẳng định sai.