Tính nguyên hàm

e) Tính nguyên hàm $\int[ 2 \sin x - 5 \cos x ] dx$ Ta có: \[ \int[ 2 \sin x - 5 \cos x ] dx = 2 \int \sin x dx - 5 \int \cos x dx \] Biết rằng: \[ \int \sin x dx = -\cos x + C_1 \] \[ \int \cos x dx = \sin x + C_2 \] Do đó: \[ 2 \int \sin x dx - 5 \int \cos x dx = 2(-\cos x) - 5(\sin x) + C \] \[ = -2 \cos x - 5 \sin x + C \] Vậy: \[ \int[ 2 \sin x - 5 \cos x ] dx = -2 \cos x - 5 \sin x + C \] f) Tính nguyên hàm $\int(1 + \cot^2 x) dx$ Ta biết rằng: \[ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \] Do đó: \[ \int(1 + \cot^2 x) dx = \int \csc^2 x dx \] Biết rằng: \[ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C \] Vậy: \[ \int(1 + \cot^2 x) dx = -\cot x + C \] g) Tính nguyên hàm $\int \frac{1}{1 + \cos 2x} dx$ Ta biết rằng: \[ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x \] Do đó: \[ \int \frac{1}{1 + \cos 2x} dx = \int \frac{1}{2 \cos^2 x} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 x dx \] Biết rằng: \[ \int \sec^2 x dx = \tan x + C \] Do đó: \[ \frac{1}{2} \int \sec^2 x dx = \frac{1}{2} \tan x + C \] Vậy: \[ \int \frac{1}{1 + \cos 2x} dx = \frac{1}{2} \tan x + C \]