help!!!!!!!!!!!!

Câu 4.2 a) Để hai vectơ $\overrightarrow a(x;2)$ và $\overrightarrow b(2;-3)$ cùng phương với nhau, ta cần có: \[ \frac{x}{2} = \frac{2}{-3} \] Từ đó suy ra: \[ x = 2 \cdot \left(\frac{2}{-3}\right) = -\frac{4}{3} \] b) Ta tính các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-4 + 1; 2 - 3) = (-3; -1) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1 + 1; 7 - 3) = (2; 4) \] Tiếp theo, ta tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \cdot 2 + (-1) \cdot 4 = -6 - 4 = -10 \] Ta cũng tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Sử dụng công thức cosin để tìm góc $\widehat{BAC}$: \[ \cos \widehat{BAC} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-10}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-10}{2\sqrt{50}} = \frac{-10}{10\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó, góc $\widehat{BAC}$ là: \[ \widehat{BAC} = 135^\circ \] Đáp số: a) \( x = -\frac{4}{3} \) b) \( \widehat{BAC} = 135^\circ \) Câu 4.3 Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC, các cạnh AB, BC và CA đều bằng nhau và bằng 7. Điểm H là trung điểm của BC, do đó BH = HC = $\frac{BC}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$. Ta cần tính $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}|$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ và hình học trong tam giác đều. 1. Xác định các vectơ: - $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ C đến A. - $\overrightarrow{HC}$ là vectơ từ H đến C. 2. Ta biết rằng trong tam giác đều, các góc đều bằng 60°. Do đó, góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{HC}$ cũng là 60°. 3. Ta sử dụng công thức tính độ dài hiệu của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}| = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 - 2 |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta)} \] Ở đây, $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{HC}$ và $\theta = 60^\circ$. 4. Thay các giá trị vào công thức: \[ |\overrightarrow{CA}| = 7, \quad |\overrightarrow{HC}| = 3.5, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] 5. Tính toán: \[ |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}| = \sqrt{7^2 + 3.5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3.5 \cdot \frac{1}{2}} \] \[ = \sqrt{49 + 12.25 - 24.5} \] \[ = \sqrt{49 + 12.25 - 24.5} \] \[ = \sqrt{36.75} \] \[ = \sqrt{\frac{147}{4}} = \frac{\sqrt{147}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \] Vậy, $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}| = \frac{7\sqrt{3}}{2}$. Đáp số: $\frac{7\sqrt{3}}{2}$.