Giúp mình với! Bài 2: Cho tứ giác ABCD; E; F là trung điểm cuả AB; CD,O là trung điểm EF.,cmR:,$a)~\overrightarrow{AB^\prime}+\overrightarrow{CD^\prime}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB^\prime}$,$b)~\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$,$c)~\overrightarrow{OA^\prime}+\overrightarrow{OB^\prime}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD^\prime}=0$,$d)~\overrightarrow{MA^\prime}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC^\prime}+\overrightarrow{MD^\prime}=4\overrightarrow{MO}.$

Question

Accepted Answer

Bài 2:
Để chứng minh các đẳng thức vector trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và phép cộng vector.

a) Chứng minh: $\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB'}$

Ta có:
- $E$ là trung điểm của $AB$, do đó $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EB}$.
- $F$ là trung điểm của $CD$, do đó $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{FD}$.

Xét vector $\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{CD'}$:
$$
\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{CD'} = (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB'}) + (\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FD'})
$$
Do $E$ và $F$ là trung điểm, ta có:
$$
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EB}, \quad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{FD}
$$
Suy ra:
$$
\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB'}
$$

b) Chứng minh: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}$

Ta có:
$$
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}
$$
Mà $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}$, do đó:
$$
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}
$$

c) Chứng minh: $\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD'} = 0$

Vì $O$ là trung điểm của $EF$, ta có:
$$
\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OF}
$$
Do đó, tổng các vector từ $O$ đến các đỉnh của tứ giác sẽ bằng 0 vì:
$$
\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD'} = (\overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF}) = 0
$$

d) Chứng minh: $\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO}$

Vì $O$ là trung điểm của $EF$, ta có:
$$
\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 2(\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF})
$$
Do đó, vì $O$ là trung điểm của $EF$, ta có:
$$
2(\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF}) = 4\overrightarrow{MO}
$$

Vậy, tất cả các đẳng thức vector đã được chứng minh.