Ai đó giúp vs

Câu 19. Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = ax^3 + bx \) trong từng trường hợp cụ thể. Mệnh đề (a) Biết \( a = b = 1 \). Hàm số trở thành: \[ f(x) = x^3 + x \] Nguyên hàm của \( f(x) \): \[ \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] Mệnh đề này sai vì nguyên hàm của \( f(x) \) là \( \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \), không phải \( \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{2} + C \). Mệnh đề (b) Biết \( a = b = 4 \). Hàm số trở thành: \[ f(x) = 4x^3 + 4x \] Nguyên hàm của \( f(x) \): \[ \int (4x^3 + 4x) \, dx = x^4 + 2x^2 + C \] Mệnh đề này đúng vì nguyên hàm của \( f(x) \) là \( x^4 + 2x^2 + C \). Mệnh đề (c) Biết \( f(1) = 6 \) và \( f(2) = 36 \). Ta có: \[ f(1) = a(1)^3 + b(1) = a + b = 6 \] \[ f(2) = a(2)^3 + b(2) = 8a + 2b = 36 \] Ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b = 6 \\ 8a + 2b = 36 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có \( b = 6 - a \). Thay vào phương trình thứ hai: \[ 8a + 2(6 - a) = 36 \] \[ 8a + 12 - 2a = 36 \] \[ 6a + 12 = 36 \] \[ 6a = 24 \] \[ a = 4 \] Thay \( a = 4 \) vào \( b = 6 - a \): \[ b = 6 - 4 = 2 \] Hàm số trở thành: \[ f(x) = 4x^3 + 2x \] Nguyên hàm của \( f(x) \): \[ \int (4x^3 + 2x) \, dx = x^4 + x^2 + C \] Mệnh đề này sai vì nguyên hàm của \( f(x) \) là \( x^4 + x^2 + C \), không phải \( x^4 - x^2 + C \). Mệnh đề (d) Biết \( f(1) = 2 \) và \( f(-2) = -52 \). Ta có: \[ f(1) = a(1)^3 + b(1) = a + b = 2 \] \[ f(-2) = a(-2)^3 + b(-2) = -8a - 2b = -52 \] Ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b = 2 \\ -8a - 2b = -52 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có \( b = 2 - a \). Thay vào phương trình thứ hai: \[ -8a - 2(2 - a) = -52 \] \[ -8a - 4 + 2a = -52 \] \[ -6a - 4 = -52 \] \[ -6a = -48 \] \[ a = 8 \] Thay \( a = 8 \) vào \( b = 2 - a \): \[ b = 2 - 8 = -6 \] Hàm số trở thành: \[ f(x) = 8x^3 - 6x \] Nguyên hàm của \( f(x) \): \[ \int (8x^3 - 6x) \, dx = 2x^4 - 3x^2 + C \] Mệnh đề này đúng vì nguyên hàm của \( f(x) \) là \( 2x^4 - 3x^2 + C \). Kết luận - Mệnh đề (a) sai. - Mệnh đề (b) đúng. - Mệnh đề (c) sai. - Mệnh đề (d) đúng. Câu 20. (a) Sai vì $\int(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2}) dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ (b) Sai vì $\int (x^2 - 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C$ (c) Sai vì $\int (\frac{2}{5-2x} + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}) dx = -\ln |5-2x| + 2\ln |x| - \frac{3}{x} + C$ (d) Đúng vì: - Đầu tiên, ta tìm nguyên hàm của $f(x) = \frac{x+1}{x-3}$: \[ f(x) = \frac{x+1}{x-3} = \frac{(x-3)+4}{x-3} = 1 + \frac{4}{x-3} \] Do đó, \[ \int f(x) dx = \int \left(1 + \frac{4}{x-3}\right) dx = x + 4\ln |x-3| + C \] - Để xác định hằng số $C$, ta sử dụng điều kiện $F(4) = 3$: \[ F(4) = 4 + 4\ln |4-3| + C = 4 + 4\ln 1 + C = 4 + 0 + C = 4 + C \] Vì $F(4) = 3$, nên: \[ 4 + C = 3 \implies C = -1 \] Vậy, $F(x) = x + 4\ln |x-3| - 1$. Câu 21. Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra tính đúng-sai của các khẳng định (a), (b), (c), và (d). Khẳng định (a): Ta có: \[ F(x) = \int \sqrt{x}(x^2 - 5x + 1) \, dx \] Đầu tiên, ta tách tích trong dấu tích phân: \[ F(x) = \int (\sqrt{x} \cdot x^2 - \sqrt{x} \cdot 5x + \sqrt{x}) \, dx \] \[ F(x) = \int (x^{2.5} - 5x^{1.5} + x^{0.5}) \, dx \] Bây giờ, ta tính từng phần tích phân: \[ \int x^{2.5} \, dx = \frac{x^{3.5}}{3.5} = \frac{2x^{3.5}}{7} \] \[ \int 5x^{1.5} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{2.5}}{2.5} = 2x^{2.5} \] \[ \int x^{0.5} \, dx = \frac{x^{1.5}}{1.5} = \frac{2x^{1.5}}{3} \] Vậy: \[ F(x) = \frac{2x^{3.5}}{7} - 2x^{2.5} + \frac{2x^{1.5}}{3} + C \] So sánh với: \[ F(x) = \frac{2x^3\sqrt{x}}{7} - 2x^2\sqrt{x} + \frac{2x\sqrt{x}}{3} + C \] Nhận thấy rằng: \[ \frac{2x^{3.5}}{7} = \frac{2x^3\sqrt{x}}{7} \] \[ 2x^{2.5} = 2x^2\sqrt{x} \] \[ \frac{2x^{1.5}}{3} = \frac{2x\sqrt{x}}{3} \] Do đó, khẳng định (a) là Đúng. Khẳng định (b): Từ khẳng định (a), ta có: \[ a = 2, \quad b = -2, \quad c = \frac{2}{3} \] Tính tổng: \[ a + b + c = 2 - 2 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \] Nhận thấy rằng: \[ \frac{2}{3} \neq 12 \] Do đó, khẳng định (b) là Sai. Khẳng định (c): Tính tích: \[ a \cdot b \cdot c = 2 \cdot (-2) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{8}{3} \] Nhận thấy rằng: \[ -\frac{8}{3} \neq 42 \] Do đó, khẳng định (c) là Sai. Khẳng định (d): Ta có: \[ F(x) = \frac{2x^3\sqrt{x}}{7} - 2x^2\sqrt{x} + \frac{2x\sqrt{x}}{3} + C \] Để tìm \(C\) khi \(F(1) = \frac{2002}{21}\): \[ F(1) = \frac{2 \cdot 1^3 \cdot \sqrt{1}}{7} - 2 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{1} + \frac{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}}{3} + C \] \[ F(1) = \frac{2}{7} - 2 + \frac{2}{3} + C \] \[ F(1) = \frac{2}{7} - 2 + \frac{2}{3} + C \] \[ F(1) = \frac{6}{21} - \frac{42}{21} + \frac{14}{21} + C \] \[ F(1) = \frac{6 - 42 + 14}{21} + C \] \[ F(1) = \frac{-22}{21} + C \] Theo bài ra: \[ \frac{-22}{21} + C = \frac{2002}{21} \] \[ C = \frac{2002}{21} + \frac{22}{21} \] \[ C = \frac{2024}{21} \] Do đó: \[ F(x) = \frac{2x^3\sqrt{x}}{7} - 2x^2\sqrt{x} + \frac{2x\sqrt{x}}{3} + \frac{2024}{21} \] Nhận thấy rằng: \[ F(x) = \frac{2x^3\sqrt{x}}{7} - 2x^2\sqrt{x} + \frac{2x\sqrt{x}}{3} + 2024 \] Do đó, khẳng định (d) là Đúng. Kết luận: - Khẳng định (a) là Đúng. - Khẳng định (b) là Sai. - Khẳng định (c) là Sai. - Khẳng định (d) là Đúng. Câu 22. (a) Đúng vì $I_1=\int(e^x+\frac1{x^2})dx=e^x-\frac1x+C$ (b) Sai vì $I_2=\int(e^{2x-1}-\frac1{x^2})dx=\frac{e^{2x-1}}2+\frac1x+C$ (c) Sai vì $I_1+I_2=e^x+\frac{e^{2x-1}}2-\frac1x+C$ (d) Đúng vì $F(x)=e^x-\frac1x+C$. Thay $F(1)=e$ ta được $C=0$. Suy ra $F(x)=e^x-\frac1x$. Thay $x=\ln2$ ta được $F(\ln2)=1-\frac1{\ln2}$. Câu 23. Để kiểm tra tính đúng sai của các khẳng định về hàm số \( f(x) = 4 \cos^2 \frac{x}{2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số: Hàm số \( f(x) = 4 \cos^2 \frac{x}{2} \) là hàm số liên tục trên toàn bộ tập số thực vì hàm cos là hàm liên tục trên toàn bộ tập số thực. Do đó, tập xác định của hàm số này là: \[ D = \mathbb{R} \] 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Ta biết rằng \( \cos^2 \frac{x}{2} \) luôn luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1, tức là: \[ 0 \leq \cos^2 \frac{x}{2} \leq 1 \] Nhân cả ba vế với 4, ta có: \[ 0 \leq 4 \cos^2 \frac{x}{2} \leq 4 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) là 4, đạt được khi \( \cos^2 \frac{x}{2} = 1 \), tức là khi \( \cos \frac{x}{2} = \pm 1 \). Điều này xảy ra khi \( \frac{x}{2} = k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \), tức là \( x = 2k\pi \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) là 0, đạt được khi \( \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \), tức là khi \( \cos \frac{x}{2} = 0 \). Điều này xảy ra khi \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \), tức là \( x = \pi + 2k\pi \). 3. Kiểm tra tính chẵn lẻ của hàm số: Ta có: \[ f(-x) = 4 \cos^2 \left( -\frac{x}{2} \right) = 4 \cos^2 \frac{x}{2} = f(x) \] Vì \( f(-x) = f(x) \), nên hàm số \( f(x) \) là hàm số chẵn. 4. Tìm chu kỳ của hàm số: Ta biết rằng hàm số \( \cos \frac{x}{2} \) có chu kỳ là \( 4\pi \). Do đó, hàm số \( \cos^2 \frac{x}{2} \) cũng có chu kỳ là \( 4\pi \). Nhân với 4, ta có: \[ f(x + 4\pi) = 4 \cos^2 \left( \frac{x + 4\pi}{2} \right) = 4 \cos^2 \left( \frac{x}{2} + 2\pi \right) = 4 \cos^2 \frac{x}{2} = f(x) \] Vậy chu kỳ của hàm số \( f(x) \) là \( 4\pi \). Kết luận: - Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = \pi + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). - Hàm số là hàm số chẵn. - Chu kỳ của hàm số là \( 4\pi \).