Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -6x^3 + 27x^2 - 16x + 1 trên đoạn [1;5] bằng

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -6x^3 + 27x^2 - 16x + 1 \) trên đoạn \([1;5]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-6x^3 + 27x^2 - 16x + 1) = -18x^2 + 54x - 16 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ -18x^2 + 54x - 16 = 0 \] Chia cả hai vế cho -2 để đơn giản hóa: \[ 9x^2 - 27x + 8 = 0 \] Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 9 \), \( b = -27 \), \( c = 8 \): \[ x = \frac{27 \pm \sqrt{(-27)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8}}{2 \cdot 9} = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 288}}{18} = \frac{27 \pm \sqrt{441}}{18} = \frac{27 \pm 21}{18} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{27 + 21}{18} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3} \] \[ x_2 = \frac{27 - 21}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \] Bước 3: Kiểm tra các điểm cực trị nằm trong đoạn \([1;5]\): - \( x_1 = \frac{8}{3} \approx 2.67 \) nằm trong đoạn \([1;5]\) - \( x_2 = \frac{1}{3} \approx 0.33 \) không nằm trong đoạn \([1;5]\) Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = -6(1)^3 + 27(1)^2 - 16(1) + 1 = -6 + 27 - 16 + 1 = 6 \] - Tại \( x = \frac{8}{3} \): \[ f\left(\frac{8}{3}\right) = -6\left(\frac{8}{3}\right)^3 + 27\left(\frac{8}{3}\right)^2 - 16\left(\frac{8}{3}\right) + 1 \] \[ = -6 \cdot \frac{512}{27} + 27 \cdot \frac{64}{9} - 16 \cdot \frac{8}{3} + 1 \] \[ = -\frac{3072}{27} + \frac{1728}{9} - \frac{128}{3} + 1 \] \[ = -\frac{3072}{27} + \frac{5184}{27} - \frac{1152}{27} + \frac{27}{27} \] \[ = \frac{-3072 + 5184 - 1152 + 27}{27} = \frac{1089}{27} = 40.33 \] - Tại \( x = 5 \): \[ f(5) = -6(5)^3 + 27(5)^2 - 16(5) + 1 = -6 \cdot 125 + 27 \cdot 25 - 16 \cdot 5 + 1 \] \[ = -750 + 675 - 80 + 1 = -154 \] Bước 5: So sánh các giá trị đã tính: - \( f(1) = 6 \) - \( f\left(\frac{8}{3}\right) = 40.33 \) - \( f(5) = -154 \) Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -6x^3 + 27x^2 - 16x + 1 \) trên đoạn \([1;5]\) là 40.33, đạt được khi \( x = \frac{8}{3} \). Đáp số: 40.33