giúp mình voi a

Câu 1. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$, ta dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm $f'(x)$. Bảng xét dấu của $f'(x)$ cho thấy: - $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-2, 0)$ - $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-\infty, -2)$ và $(0, +\infty)$ Hàm số $y = f(x)$ đồng biến khi đạo hàm $f'(x) > 0$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-2, 0)$. Vậy đáp án đúng là: B. $(-2, 0)$. Câu 2. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(-\infty; -1)$, hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(-1; 1)$, hàm số nghịch biến. - Trên khoảng $(1; +\infty)$, hàm số đồng biến. Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$. Trong các đáp án đã cho, chỉ có khoảng $(3; +\infty)$ nằm trong khoảng $(1; +\infty)$, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. Vậy đáp án đúng là: A. $(3; +\infty)$. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần dựa vào thông tin về đạo hàm của hàm số $f(x)$ để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số trên các khoảng đã cho. - Ta biết rằng $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-4; 0)$, điều này có nghĩa là hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng này. - Ta cũng biết rằng $f'(x) > 0$ trên khoảng $(1; 4)$, điều này có nghĩa là hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng này. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1; 5)$: - Trên khoảng $(1; 4)$, hàm số đồng biến vì $f'(x) > 0$. Do đó, khẳng định này sai. B. $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-4; 3)$: - Trên khoảng $(-4; 0)$, hàm số nghịch biến vì $f'(x) < 0$. Do đó, khẳng định này sai. C. $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-4; 6)$: - Trên khoảng $(-4; 0)$, hàm số nghịch biến vì $f'(x) < 0$. Tuy nhiên, trên khoảng $(1; 4)$, hàm số đồng biến vì $f'(x) > 0$. Do đó, khẳng định này sai. D. $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; 3)$: - Trên khoảng $(1; 4)$, hàm số đồng biến vì $f'(x) > 0$. Do đó, khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là: D. $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; 3)$. Câu 4. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{2x^3}{3} - 5x^2 + 12x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{2x^3}{3} - 5x^2 + 12x\right)' = 2x^2 - 10x + 12 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Đạo hàm \( y' = 2x^2 - 10x + 12 \) là một đa thức bậc hai. Ta tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng không: \[ 2x^2 - 10x + 12 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x - 2)(x - 3) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 2 \quad \text{và} \quad x = 3 \] 3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định: Ta xét dấu của \( y' = 2(x - 2)(x - 3) \) trên các khoảng: - Khi \( x < 2 \): \( (x - 2) < 0 \) và \( (x - 3) < 0 \), vậy \( y' > 0 \) - Khi \( 2 < x < 3 \): \( (x - 2) > 0 \) và \( (x - 3) < 0 \), vậy \( y' < 0 \) - Khi \( x > 3 \): \( (x - 2) > 0 \) và \( (x - 3) > 0 \), vậy \( y' > 0 \) 4. Kết luận khoảng nghịch biến: Hàm số nghịch biến khi đạo hàm \( y' < 0 \). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (2; 3) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( (2; 3) \) Câu 5. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y=\frac{9x-2}{10x+1}$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là $y=\frac{9x-2}{10x+1}$. Ta áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(9x-2)'(10x+1) - (9x-2)(10x+1)'}{(10x+1)^2} \] Tính đạo hàm từng thành phần: \[ (9x-2)' = 9 \] \[ (10x+1)' = 10 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{9(10x+1) - (9x-2)10}{(10x+1)^2} \] \[ y' = \frac{90x + 9 - 90x + 20}{(10x+1)^2} \] \[ y' = \frac{29}{(10x+1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm Ta thấy rằng $(10x+1)^2$ luôn dương với mọi $x$ ngoại trừ khi $10x+1=0$, tức là $x=-\frac{1}{10}$. Do đó, $y'$ luôn dương với mọi $x$ ngoại trừ điểm $x=-\frac{1}{10}$. Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến Vì đạo hàm $y'$ luôn dương với mọi $x$ ngoại trừ điểm $x=-\frac{1}{10}$, nên hàm số $y=\frac{9x-2}{10x+1}$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ ngoại trừ điểm $x=-\frac{1}{10}$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(-\infty; +\infty)$. Câu 6. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{x^2 - 6x + 4}{x - 6} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 - 6x + 4}{x - 6} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(x^2 - 6x + 4)'(x - 6) - (x^2 - 6x + 4)(x - 6)'}{(x - 6)^2} \] Tính đạo hàm của tử và mẫu: \[ (x^2 - 6x + 4)' = 2x - 6 \] \[ (x - 6)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{(2x - 6)(x - 6) - (x^2 - 6x + 4)}{(x - 6)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{2x^2 - 12x - 6x + 36 - x^2 + 6x - 4}{(x - 6)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 12x + 32}{(x - 6)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm \( y' \): Ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc vô định: \[ y' = \frac{x^2 - 12x + 32}{(x - 6)^2} \] Đạo hàm vô định khi \( x = 6 \) (vì mẫu số bằng 0). Tìm các nghiệm của phương trình \( x^2 - 12x + 32 = 0 \): \[ x^2 - 12x + 32 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2} \] \[ x = 8 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng: Ta xét dấu của \( y' \) trên các khoảng \( (-\infty, 4) \), \( (4, 6) \), \( (6, 8) \), và \( (8, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, 4) \): Chọn \( x = 0 \) \[ y' = \frac{0^2 - 12 \cdot 0 + 32}{(0 - 6)^2} = \frac{32}{36} > 0 \] - Trên khoảng \( (4, 6) \): Chọn \( x = 5 \) \[ y' = \frac{5^2 - 12 \cdot 5 + 32}{(5 - 6)^2} = \frac{25 - 60 + 32}{1} = -3 < 0 \] - Trên khoảng \( (6, 8) \): Chọn \( x = 7 \) \[ y' = \frac{7^2 - 12 \cdot 7 + 32}{(7 - 6)^2} = \frac{49 - 84 + 32}{1} = -3 < 0 \] - Trên khoảng \( (8, +\infty) \): Chọn \( x = 9 \) \[ y' = \frac{9^2 - 12 \cdot 9 + 32}{(9 - 6)^2} = \frac{81 - 108 + 32}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] 4. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (4, 6) \) và \( (6, 8) \). Do đó, đáp án đúng là: C. \( (4, 6) \) Đáp số: C. \( (4, 6) \) Câu 7. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \sqrt{2x^2 + 2x - 12} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần \( 2x^2 + 2x - 12 \geq 0 \). Giải bất phương trình: \[ 2x^2 + 2x - 12 \geq 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x^2 + x - 6 \geq 0 \] Tìm nghiệm của phương trình \( x^2 + x - 6 = 0 \): \[ (x + 3)(x - 2) = 0 \] Nghiệm của phương trình là \( x = -3 \) và \( x = 2 \). Xét dấu của \( x^2 + x - 6 \): - Khi \( x < -3 \), \( x^2 + x - 6 > 0 \) - Khi \( -3 < x < 2 \), \( x^2 + x - 6 < 0 \) - Khi \( x > 2 \), \( x^2 + x - 6 > 0 \) Vậy ĐKXĐ của hàm số là \( x \leq -3 \) hoặc \( x \geq 2 \). 2. Xét tính chất của hàm số: Ta xét đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{2x^2 + 2x - 12} \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x^2 + 2x - 12} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 2x - 12}} \cdot (4x + 2) = \frac{2x + 1}{\sqrt{2x^2 + 2x - 12}} \] Để hàm số nghịch biến, ta cần \( y' < 0 \): \[ \frac{2x + 1}{\sqrt{2x^2 + 2x - 12}} < 0 \] Điều này xảy ra khi \( 2x + 1 < 0 \) và \( \sqrt{2x^2 + 2x - 12} > 0 \): \[ 2x + 1 < 0 \implies x < -\frac{1}{2} \] Kết hợp với điều kiện xác định \( x \leq -3 \) hoặc \( x \geq 2 \), ta thấy rằng: - Khi \( x \leq -3 \), \( 2x + 1 < 0 \) luôn đúng. - Khi \( x \geq 2 \), \( 2x + 1 > 0 \). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -3] \). 3. Kết luận: Trong các đáp án đã cho, khoảng \( (-\infty, -3) \) là khoảng nghịch biến của hàm số. Vậy đáp án đúng là: C. \( (-\infty, -3) \). Câu 8. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) từ đồ thị, ta cần quan sát sự thay đổi của giá trị hàm số khi \( x \) tăng lên. Từ đồ thị, ta thấy: - Khi \( x \) tăng từ \( -\infty \) đến \( x = -1 \), giá trị của \( y \) giảm dần. - Khi \( x \) tăng từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \), giá trị của \( y \) tăng dần. - Khi \( x \) tăng từ \( x = 1 \) đến \( +\infty \), giá trị của \( y \) giảm dần. Do đó, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên các khoảng: - \( (-\infty, -1) \) - \( (1, +\infty) \) Vậy khoảng nghịch biến của hàm số là \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \). Đáp án: \( (-\infty, -1) \) và \( (1, +\infty) \).