giảiiiiiiiiii

Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$, ta thực hiện như sau: 1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong biểu thức: - Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. - Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. 2. Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm: - Nguyên hàm của $3\cos x$ là $3\sin x$. - Nguyên hàm của $-4\sin x$ là $4\cos x$. 3. Kết hợp lại, ta có: \[ \int (3\cos x - 4\sin x) \, dx = 3\sin x + 4\cos x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Do đó, đáp án đúng là: C. $3\sin x + 4\cos x + C$. Câu 2: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x+\frac3{\sin^2x}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách hàm số thành hai phần riêng biệt. \[ f(x) = 2\sin x + \frac{3}{\sin^2 x} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi phần riêng biệt. Phần thứ nhất: $2\sin x$ Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$, do đó: \[ \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C_1 \] Phần thứ hai: $\frac{3}{\sin^2 x}$ Ta biết rằng $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$. Nguyên hàm của $\csc^2 x$ là $-\cot x$, do đó: \[ \int \frac{3}{\sin^2 x} \, dx = \int 3\csc^2 x \, dx = -3\cot x + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau. \[ \int f(x) \, dx = \int (2\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}) \, dx = -2\cos x - 3\cot x + C \] Trong đó, $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x+\frac3{\sin^2x}$ là: \[ -2\cos x - 3\cot x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $-2\cos x - 3\cot x + C$. Câu 3: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở rộng biểu thức \( (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 \): \[ (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 = \cos^2\frac{x}{2} + 2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} \] Bước 2: Áp dụng công thức Pythagoras \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \): \[ \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} = 1 \] Do đó: \[ (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 = 1 + 2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} \] Bước 3: Áp dụng công thức nhân đôi \( 2\cos\theta\sin\theta = \sin(2\theta) \): \[ 2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} = \sin x \] Do đó: \[ (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 = 1 + \sin x \] Bước 4: Tìm nguyên hàm của \( 1 + \sin x \): \[ \int (1 + \sin x) \, dx = \int 1 \, dx + \int \sin x \, dx \] \[ = x - \cos x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 \) là: \[ x - \cos x + C \] Đáp án đúng là: B. \( x - \cos x + C \). Câu 4: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức hạ bậc cho \( \cos^2 \frac{x}{2} \): \[ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ f(x) = 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \left( \frac{1 + \cos x}{2} \right) = 1 + \cos x \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của \( 1 + \cos x \): \[ \int (1 + \cos x) \, dx = \int 1 \, dx + \int \cos x \, dx = x + \sin x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \) là: \[ x + \sin x + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( x + \sin x + C \). Câu 5: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \tan^2 x + \cot^2 x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ. - Ta biết rằng \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) và \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \). Bước 2: Thay thế vào biểu thức ban đầu: \[ f(x) = (\sec^2 x - 1) + (\csc^2 x - 1) = \sec^2 x + \csc^2 x - 2 \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của từng thành phần: - Nguyên hàm của \( \sec^2 x \) là \( \tan x \). - Nguyên hàm của \( \csc^2 x \) là \( -\cot x \). - Nguyên hàm của hằng số \(-2\) là \(-2x\). Bước 4: Kết hợp lại để tìm nguyên hàm tổng: \[ \int f(x) \, dx = \int (\sec^2 x + \csc^2 x - 2) \, dx = \tan x - \cot x - 2x + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \tan^2 x + \cot^2 x \) là: \[ \boxed{\tan x - \cot x - 2x + C} \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( \tan x - \cot x - 2x + C \). Câu 6: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x + \sin(2x + 1) \), ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong tổng này. 1. Tìm nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \sin(2x + 1) \): \[ \int \sin(2x + 1) \, dx \] Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt \( u = 2x + 1 \), suy ra \( du = 2 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{du}{2} \). Do đó: \[ \int \sin(2x + 1) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{2} \cos(u) + C_2 = -\frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C_2 \] Kết hợp hai nguyên hàm trên, ta có: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C \] Trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là: D. \( F(x) = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} \cos(2x + 1) \) Vậy đáp án đúng là D. Câu 7: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2\sin x - \cos x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Ta có: \[ F(x) = \int (2\sin x - \cos x) \, dx \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C_1 \] \[ \int -\cos x \, dx = -\sin x + C_2 \] Vậy: \[ F(x) = -2\cos x - \sin x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Thay \( x = \frac{\pi}{3} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -2\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + C \] Biết rằng: \[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] \[ \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + C \] \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + C \] Theo đề bài, ta có: \[ -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + C = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Giải ra \( C \): \[ C = -1 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được. \[ F(x) = -2\cos x - \sin x - 1 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( F(x) = -2\cos x - \sin x - 1 \). Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\cos^2 x} \). Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số. - Nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_1 \] - Nguyên hàm của \( \frac{1}{\cos^2 x} \): \[ \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_2 \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\cos^2 x} \right) \, dx = \ln |x| + \tan x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát. Do đó, khẳng định đúng là: A. \( \int f(x) \, dx = \ln |x| + \tan x + C \) Đáp án: A. \( \int f(x) \, dx = \ln |x| + \tan x + C \) Câu 9: Để xác định khẳng định nào là sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ - Đây là công thức tích phân đúng của hàm sin. Tích phân của $\sin x$ là $-\cos x + C$. B. $\int \cos x \, dx = -\sin x + C$ - Đây là khẳng định sai. Tích phân của $\cos x$ là $\sin x + C$, không phải $-\sin x + C$. C. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$ - Đây là công thức tích phân đúng của hàm cos. Tích phân của $\cos x$ là $\sin x + C$. D. $\int \cos x \, dx = -\tan x + C$ - Đây là khẳng định sai. Tích phân của $\cos x$ là $\sin x + C$, không phải $-\tan x + C$. Như vậy, khẳng định sai là: B. $\int \cos x \, dx = -\sin x + C$ Và D. $\int \cos x \, dx = -\tan x + C$ Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có B là khẳng định sai trong danh sách các lựa chọn. Đáp án: B. $\int \cos x \, dx = -\sin x + C$ Câu 10: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \sin x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số. - Nguyên hàm của \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] - Nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x \] Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (3x^2 + \sin x) \, dx = x^3 - \cos x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \sin x \) là: \[ x^3 - \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( x^3 - \cos x + C \). Câu 11: Để tìm hàm số \( f(x) \) thỏa mãn \( f'(x) = 3 - 5 \cos x \) và \( f(0) = 5 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tích phân \( f'(x) \) để tìm \( f(x) \). \[ f(x) = \int (3 - 5 \cos x) \, dx \] Tích phân từng thành phần: \[ f(x) = \int 3 \, dx - \int 5 \cos x \, dx \] \[ f(x) = 3x - 5 \sin x + C \] Bước 2: Áp dụng điều kiện ban đầu \( f(0) = 5 \) để tìm hằng số \( C \). \[ f(0) = 3(0) - 5 \sin(0) + C = 5 \] \[ 0 - 0 + C = 5 \] \[ C = 5 \] Bước 3: Thay \( C \) vào biểu thức của \( f(x) \): \[ f(x) = 3x - 5 \sin x + 5 \] Vậy hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = 3x - 5 \sin x + 5 \] Do đó, mệnh đề đúng là: D. \( f(x) = 3x - 5 \sin x + 5 \) Đáp án: D. \( f(x) = 3x - 5 \sin x + 5 \) Câu 12: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + 2\cos x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). Nguyên hàm của \( 2\cos x \) là \( 2\sin x \). Do đó, nguyên hàm tổng quát của \( f(x) \) là: \[ F(x) = -\cos x + 2\sin x + C \] trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \). Thay \( x = \frac{\pi}{2} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + 2\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + C \] Biết rằng \( \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \) và \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \), ta có: \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = -0 + 2 \cdot 1 + C = 2 + C \] Theo điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \), ta có: \[ 2 + C = 0 \] \[ C = -2 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm cụ thể. Thay \( C = -2 \) vào \( F(x) \): \[ F(x) = -\cos x + 2\sin x - 2 \] Vậy, nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + 2\cos x \) là: \[ F(x) = 2\sin x - \cos x - 2 \] Đáp án đúng là: D. \( F(x) = 2\sin x - \cos x - 2 \). Câu 13: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + \frac{1}{\cos^2 x} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). - Nguyên hàm của \( \frac{1}{\cos^2 x} \) là \( \tan x \). Do đó, nguyên hàm tổng quát của \( f(x) \) là: \[ F(x) = -\cos x + \tan x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Thay \( x = \frac{\pi}{4} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) + C \] \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 + C \] Giải phương trình này để tìm \( C \): \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 + C \] \[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + C \] \[ \sqrt{2} = 1 + C \] \[ C = \sqrt{2} - 1 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với giá trị \( C \) đã tìm được: \[ F(x) = -\cos x + \tan x + (\sqrt{2} - 1) \] Vậy, đáp án đúng là: \[ F(x) = -\cos x + \tan x + \sqrt{2} - 1 \] Đáp án: B. \( -\cos x + \tan x + \sqrt{2} - 1 \). Câu 14: Để tìm nguyên hàm của $\sin(5x)$, ta sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi $u = 5x$. Khi đó, $du = 5 \, dx$ hoặc $dx = \frac{1}{5} \, du$. Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. $\int \sin(5x) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{5} \, du = \frac{1}{5} \int \sin(u) \, du$. Bước 3: Tính nguyên hàm của $\sin(u)$. $\int \sin(u) \, du = -\cos(u) + C$. Bước 4: Thay trở lại biến số ban đầu. $\frac{1}{5} \int \sin(u) \, du = \frac{1}{5} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{5} \cos(5x) + C$. Vậy, $\int \sin(5x) \, dx = -\frac{1}{5} \cos(5x) + C$. Do đó, đáp án đúng là: C. $\int \sin(5x) \, dx = -\frac{1}{5} \cos(5x) + C$. Câu 15: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \cos 2x \), chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản và tính chất của nguyên hàm. Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( \cos 2x \). Theo công thức nguyên hàm cơ bản: \[ \int \cos u \, du = \sin u + C \] Áp dụng vào hàm số \( \cos 2x \): \[ \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Bước 2: Nhân với hệ số 2 trước nguyên hàm. \[ \int 2 \cos 2x \, dx = 2 \left( \frac{1}{2} \sin 2x + C \right) \] \[ = \sin 2x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \cos 2x \) là: \[ \sin 2x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( \sin 2x + C \). Câu 16: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp giải - Ta nhận thấy rằng tích phân có dạng $\int \frac{\cos 2x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$. - Ta sẽ sử dụng công thức $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ để đơn giản hóa biểu thức trong tích phân. Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức trong tích phân - Ta có $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. - Thay vào tích phân, ta có: \[ \int \frac{\cos 2x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx = \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx \] Bước 3: Tách tích phân thành hai phần - Ta tách tích phân thành hai phần: \[ \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx = \int \left( \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx \] \[ = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx \] \[ = \int \left( \csc^2 x - \sec^2 x \right) dx \] Bước 4: Tính tích phân từng phần - Ta biết rằng $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C_1$ và $\int \sec^2 x dx = \tan x + C_2$. - Do đó: \[ \int \left( \csc^2 x - \sec^2 x \right) dx = -\cot x - \tan x + C \] Bước 5: Kết luận - Vậy tích phân $\int \frac{\cos 2x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$ là $-\cot x - \tan x + C$. Đáp án đúng là: C. $-\cot x - \tan x + C$. Câu 17: Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = \tan^2 x$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\tan^2 x$: \[ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của $\sec^2 x$ và $-1$: \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_1 \] \[ \int (-1) \, dx = -x + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tìm nguyên hàm của $\tan^2 x$: \[ \int \tan^2 x \, dx = \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \tan x - x + C \] Trong đó, $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Vậy nguyên hàm của hàm số $y = \tan^2 x$ là: \[ \tan x - x + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. $-\tan x + x + C$. Câu 18: Để tính tích phân $\int(2\sin x + \cos x)^2 dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở ngoặc và viết lại biểu thức: \[ (2\sin x + \cos x)^2 = 4\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x \] Bước 2: Áp dụng công thức hạ bậc: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \] \[ 4\sin^2 x = 4 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} = 2 - 2\cos 2x \] \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 4\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 2 - 2\cos 2x + 4\sin x \cos x + \frac{1 + \cos 2x}{2} \] Bước 4: Gộp các hạng tử: \[ = 2 - 2\cos 2x + 4\sin x \cos x + \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} \] \[ = 2 + \frac{1}{2} - 2\cos 2x + \frac{\cos 2x}{2} + 4\sin x \cos x \] \[ = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x + 4\sin x \cos x \] Bước 5: Áp dụng công thức nhân đôi: \[ 4\sin x \cos x = 2\sin 2x \] Bước 6: Viết lại tích phân: \[ \int \left(\frac{5}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x + 2\sin 2x\right) dx \] Bước 7: Tính từng phần: \[ \int \frac{5}{2} dx = \frac{5}{2}x \] \[ \int -\frac{3}{2}\cos 2x dx = -\frac{3}{2} \cdot \frac{\sin 2x}{2} = -\frac{3}{4}\sin 2x \] \[ \int 2\sin 2x dx = 2 \cdot \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) = -\cos 2x \] Bước 8: Kết hợp các kết quả: \[ \int(2\sin x + \cos x)^2 dx = \frac{5}{2}x - \frac{3}{4}\sin 2x - \cos 2x + C \] So sánh với biểu thức đã cho: \[ a\sin 2x - \cos 2x + bx + C \] Ta thấy: \[ a = -\frac{3}{4}, \quad b = \frac{5}{2} \] Bước 9: Tính $a^2 + b^2$: \[ a^2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \] \[ b^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = \frac{100}{16} \] \[ a^2 + b^2 = \frac{9}{16} + \frac{100}{16} = \frac{109}{16} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{109}{16}$. Câu 19: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x \). 2. Xác định hằng số nguyên hàm bằng cách sử dụng điểm \( M(0;1) \). 3. Tính giá trị của \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \sin x \). Nguyên hàm của \( \sin x \) là: \[ F(x) = -\cos x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điểm \( M(0;1) \). Thay \( x = 0 \) và \( F(0) = 1 \) vào công thức trên: \[ F(0) = -\cos(0) + C = 1 \] \[ -1 + C = 1 \] \[ C = 2 \] Do đó, nguyên hàm của \( f(x) = \sin x \) là: \[ F(x) = -\cos x + 2 \] Bước 3: Tính giá trị của \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \). Thay \( x = \frac{\pi}{2} \) vào công thức \( F(x) = -\cos x + 2 \): \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \] \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0 + 2 \] \[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \) Đáp số: A. \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \)