Bdbdhanabmjh

Câu 4. Để tìm quãng đường mà chất điểm di chuyển trong 15 giây đầu tiên, ta cần tính tổng các khoảng cách mà chất điểm đã đi qua trong suốt quá trình chuyển động. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời của chất điểm: \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 18t^2 + 81t) = 3t^2 - 36t + 81 \] 2. Xác định các thời điểm mà vận tốc bằng 0 để tìm các khoảng thời gian mà chất điểm thay đổi hướng: \[ v(t) = 0 \] \[ 3t^2 - 36t + 81 = 0 \] \[ t^2 - 12t + 27 = 0 \] \[ (t - 3)(t - 9) = 0 \] \[ t = 3 \text{ hoặc } t = 9 \] 3. Tính khoảng cách mà chất điểm di chuyển trong mỗi khoảng thời gian: - Từ \( t = 0 \) đến \( t = 3 \): \[ s(3) - s(0) = (3^3 - 18 \cdot 3^2 + 81 \cdot 3) - (0^3 - 18 \cdot 0^2 + 81 \cdot 0) = 27 - 162 + 243 = 108 \text{ mét} \] - Từ \( t = 3 \) đến \( t = 9 \): \[ s(9) - s(3) = (9^3 - 18 \cdot 9^2 + 81 \cdot 9) - (3^3 - 18 \cdot 3^2 + 81 \cdot 3) = 729 - 1458 + 729 - 108 = -108 \text{ mét} \] Khoảng cách là \( | -108 | = 108 \text{ mét} \) - Từ \( t = 9 \) đến \( t = 15 \): \[ s(15) - s(9) = (15^3 - 18 \cdot 15^2 + 81 \cdot 15) - (9^3 - 18 \cdot 9^2 + 81 \cdot 9) = 3375 - 4050 + 1215 - 729 + 1458 - 729 = 504 \text{ mét} \] 4. Tổng quãng đường mà chất điểm di chuyển trong 15 giây đầu tiên: \[ 108 + 108 + 504 = 720 \text{ mét} \] Vậy, trong 15 giây chuyển động đầu tiên, chất điểm di chuyển được quãng đường là 720 mét. Câu 5. Giả sử công ty sử dụng \( n \) máy để sản xuất 8000 quả bóng tennis. Số giờ để hoàn thành đơn hàng là: \[ t = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n} \text{ (giờ)} \] Chi phí thiết lập các máy là: \[ C_{thietlap} = 200n \text{ (nghìn đồng)} \] Chi phí trả cho người giám sát là: \[ C_{giamsat} = 192 \times \frac{800}{3n} = \frac{153600}{3n} = \frac{51200}{n} \text{ (nghìn đồng)} \] Tổng chi phí hoạt động là: \[ C_{tong} = C_{thietlap} + C_{giamsat} = 200n + \frac{51200}{n} \text{ (nghìn đồng)} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí, ta tính đạo hàm của \( C_{tong} \) theo \( n \): \[ C'_{tong} = 200 - \frac{51200}{n^2} \] Đặt \( C'_{tong} = 0 \) để tìm điểm cực tiểu: \[ 200 - \frac{51200}{n^2} = 0 \] \[ 200 = \frac{51200}{n^2} \] \[ n^2 = \frac{51200}{200} \] \[ n^2 = 256 \] \[ n = 16 \] Ta kiểm tra đạo hàm hai lần để xác định đây là điểm cực tiểu: \[ C''_{tong} = \frac{d}{dn}\left(200 - \frac{51200}{n^2}\right) = \frac{102400}{n^3} \] Khi \( n = 16 \): \[ C''_{tong} = \frac{102400}{16^3} > 0 \] Vậy \( n = 16 \) là điểm cực tiểu, tức là giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí. Do đó, công ty nên sử dụng 16 máy để chi phí hoạt động là thấp nhất. Câu 6. Để một người dùng điện thoại ở vị trí \( A(m + 100; m + 370; 0) \) có thể sử dụng dịch vụ của trạm 5G, khoảng cách từ điểm \( A \) đến trạm \( I(200; 450; 60) \) phải nhỏ hơn hoặc bằng 600 mét. Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm \( I \) và \( A \). Khoảng cách \( d \) giữa hai điểm \( I(x_1, y_1, z_1) \) và \( A(x_2, y_2, z_2) \) trong không gian được tính bằng công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \sqrt{(m + 100 - 200)^2 + (m + 370 - 450)^2 + (0 - 60)^2} \] \[ d = \sqrt{(m - 100)^2 + (m - 80)^2 + (-60)^2} \] \[ d = \sqrt{(m - 100)^2 + (m - 80)^2 + 3600} \] Bước 2: Đặt điều kiện để khoảng cách này nhỏ hơn hoặc bằng 600 mét: \[ \sqrt{(m - 100)^2 + (m - 80)^2 + 3600} \leq 600 \] Bước 3: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (m - 100)^2 + (m - 80)^2 + 3600 \leq 360000 \] Bước 4: Mở rộng và đơn giản hóa phương trình: \[ (m^2 - 200m + 10000) + (m^2 - 160m + 6400) + 3600 \leq 360000 \] \[ 2m^2 - 360m + 20000 \leq 360000 \] \[ 2m^2 - 360m + 20000 - 360000 \leq 0 \] \[ 2m^2 - 360m - 340000 \leq 0 \] \[ m^2 - 180m - 170000 \leq 0 \] Bước 5: Giải bất phương trình bậc hai: \[ m^2 - 180m - 170000 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ m = \frac{180 \pm \sqrt{180^2 + 4 \cdot 170000}}{2} \] \[ m = \frac{180 \pm \sqrt{32400 + 680000}}{2} \] \[ m = \frac{180 \pm \sqrt{712400}}{2} \] \[ m = \frac{180 \pm 844}{2} \] Tìm hai nghiệm: \[ m_1 = \frac{180 + 844}{2} = 512 \] \[ m_2 = \frac{180 - 844}{2} = -332 \] Bước 6: Xác định khoảng giá trị của \( m \): \[ -332 \leq m \leq 512 \] Do đó, giá trị lớn nhất của \( m \) là 512. Đáp số: \( m = 512 \)