giải giúp mình với ạ Bài tập 4: Cho $F(x)=\cos2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) an x$ Tìm họ,nguyên hàm của hàm số $g(x)=\frac{ an x}{f^\prime(x)}$

Question

giải giúp mình với ạ Bài tập 4: Cho $F(x)=\cos2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)	an x$ Tìm họ,nguyên hàm của hàm số $g(x)=\frac{	an x}{f^\prime(x)}$

Lê Tuấn · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{\tan x}{f'(x)}$, với điều kiện là $F(x) = \cos(2x)$ là nguyên hàm của $f(x) = \tan x$.

### Bước 1: Tìm $f'(x)$
Chúng ta được biết $f(x) = \tan x$, vì vậy ta tính đạo hàm của $f(x)$:
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x.
$$

### Bước 2: Tìm biểu thức cho $g(x)$
Theo đề bài, $g(x) = \frac{\tan x}{f'(x)}$, tức là:
$$
g(x) = \frac{\tan x}{\sec^2 x}.
$$

Chúng ta biết rằng $\frac{\tan x}{\sec^2 x} = \sin x \cos x$, do đó:
$$
g(x) = \sin x \cos x.
$$

### Bước 3: Tìm nguyên hàm của $g(x)$
Để tìm nguyên hàm của $g(x) = \sin x \cos x$, ta sử dụng công thức:
$$
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x).
$$

Do đó, nguyên hàm của $g(x)$ là:
$$
\int \sin x \cos x \, dx = \int \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx.
$$

Nguyên hàm của $\sin(2x)$ là $-\frac{1}{2} \cos(2x)$, do đó:
$$
\int \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C,
$$
với $C$ là hằng số tích phân.

### Kết luận:
Họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{\tan x}{f'(x)}$ là:
$$
\int g(x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C.
$$

Timi · Answer

Bài tập 4:
Để tìm họ nguyên hàm của hàm số $ g(x) = \frac{\tan x}{f&#x27;(x)} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định $ f(x) $
- Biết rằng $ F(x) = \cos 2x $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(x) \tan x $. Do đó:
$$ F&#x27;(x) = -2 \sin 2x $$
- Mặt khác, theo định nghĩa của nguyên hàm:
$$ F&#x27;(x) = f(x) \tan x $$
- Vậy:
$$ f(x) \tan x = -2 \sin 2x $$

Bước 2: Tính $ f(x) $
- Ta biết rằng $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, do đó:
$$ f(x) \tan x = -2 \cdot 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x $$
- Vì $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, nên:
$$ f(x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = -4 \sin x \cos x $$
- Từ đây suy ra:
$$ f(x) = -4 \cos^2 x $$

Bước 3: Tính đạo hàm $ f&#x27;(x) $
- Ta có:
$$ f(x) = -4 \cos^2 x $$
- Đạo hàm của $ f(x) $:
$$ f&#x27;(x) = -4 \cdot 2 \cos x (-\sin x) = 8 \cos x \sin x $$

Bước 4: Xác định $ g(x) $
- Ta có:
$$ g(x) = \frac{\tan x}{f&#x27;(x)} = \frac{\tan x}{8 \cos x \sin x} $$
- Thay $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ vào:
$$ g(x) = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{8 \cos x \sin x} = \frac{\sin x}{8 \cos^2 x \sin x} = \frac{1}{8 \cos^2 x} = \frac{1}{8} \sec^2 x $$

Bước 5: Tìm họ nguyên hàm của $ g(x) $
- Nguyên hàm của $ \sec^2 x $ là $ \tan x $, do đó:
$$ \int g(x) \, dx = \int \frac{1}{8} \sec^2 x \, dx = \frac{1}{8} \tan x + C $$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $ g(x) = \frac{\tan x}{f&#x27;(x)} $ là:
$$ \boxed{\frac{1}{8} \tan x + C} $$