giải giúp mình với ạ

Bài tập 4: Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( g(x) = \frac{\tan x}{f'(x)} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định \( f(x) \) - Biết rằng \( F(x) = \cos 2x \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \tan x \). Do đó: \[ F'(x) = -2 \sin 2x \] - Mặt khác, theo định nghĩa của nguyên hàm: \[ F'(x) = f(x) \tan x \] - Vậy: \[ f(x) \tan x = -2 \sin 2x \] Bước 2: Tính \( f(x) \) - Ta biết rằng \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), do đó: \[ f(x) \tan x = -2 \cdot 2 \sin x \cos x = -4 \sin x \cos x \] - Vì \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \), nên: \[ f(x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = -4 \sin x \cos x \] - Từ đây suy ra: \[ f(x) = -4 \cos^2 x \] Bước 3: Tính đạo hàm \( f'(x) \) - Ta có: \[ f(x) = -4 \cos^2 x \] - Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = -4 \cdot 2 \cos x (-\sin x) = 8 \cos x \sin x \] Bước 4: Xác định \( g(x) \) - Ta có: \[ g(x) = \frac{\tan x}{f'(x)} = \frac{\tan x}{8 \cos x \sin x} \] - Thay \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) vào: \[ g(x) = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{8 \cos x \sin x} = \frac{\sin x}{8 \cos^2 x \sin x} = \frac{1}{8 \cos^2 x} = \frac{1}{8} \sec^2 x \] Bước 5: Tìm họ nguyên hàm của \( g(x) \) - Nguyên hàm của \( \sec^2 x \) là \( \tan x \), do đó: \[ \int g(x) \, dx = \int \frac{1}{8} \sec^2 x \, dx = \frac{1}{8} \tan x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( g(x) = \frac{\tan x}{f'(x)} \) là: \[ \boxed{\frac{1}{8} \tan x + C} \]