giải giúp mình với ạ Bài tập 4: Cho $F(x)=\cos2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) an x$ Tìm họ,nguyên hàm của hàm số $g(x)=\frac{ an x}{f^\prime(x)}$

Question

giải giúp mình với ạ Bài tập 4: Cho $F(x)=\cos2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)	an x$ Tìm họ,nguyên hàm của hàm số $g(x)=\frac{	an x}{f^\prime(x)}$

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{\tan x}{f'(x)}$, với điều kiện là $F(x) = \cos(2x)$ là nguyên hàm của $f(x) = \tan x$.

### Bước 1: Tìm $f'(x)$
Chúng ta được biết $f(x) = \tan x$, vì vậy ta tính đạo hàm của $f(x)$:
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x.
$$

### Bước 2: Tìm biểu thức cho $g(x)$
Theo đề bài, $g(x) = \frac{\tan x}{f'(x)}$, tức là:
$$
g(x) = \frac{\tan x}{\sec^2 x}.
$$

Chúng ta biết rằng $\frac{\tan x}{\sec^2 x} = \sin x \cos x$, do đó:
$$
g(x) = \sin x \cos x.
$$

### Bước 3: Tìm nguyên hàm của $g(x)$
Để tìm nguyên hàm của $g(x) = \sin x \cos x$, ta sử dụng công thức:
$$
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x).
$$

Do đó, nguyên hàm của $g(x)$ là:
$$
\int \sin x \cos x \, dx = \int \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx.
$$

Nguyên hàm của $\sin(2x)$ là $-\frac{1}{2} \cos(2x)$, do đó:
$$
\int \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C,
$$
với $C$ là hằng số tích phân.

### Kết luận:
Họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{\tan x}{f'(x)}$ là:
$$
\int g(x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C.
$$