bdbdhsbshshajnbdbs

Câu 1: Để tính $\int \frac{1}{x} dx$, chúng ta sẽ áp dụng công thức tích phân cơ bản liên quan đến hàm lôgarit tự nhiên. Bước 1: Xác định dạng tích phân. $\int \frac{1}{x} dx$ Bước 2: Áp dụng công thức tích phân. Theo công thức tích phân cơ bản, ta có: $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ Giải thích: - $\ln |x|$ là hàm lôgarit tự nhiên của giá trị tuyệt đối của $x$. Điều này đảm bảo rằng tích phân tồn tại cho cả các giá trị dương và âm của $x$ (trừ $x = 0$). - $C$ là hằng số tích phân. Do đó, đáp án đúng là: A. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C.$ Đáp án: A. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C.$ Câu 2: Để tính $\int(3\sin x + 2\cos x)dx$, ta thực hiện như sau: Bước 1: Tách tích phân thành tổng của hai tích phân riêng lẻ: \[ \int(3\sin x + 2\cos x)dx = \int 3\sin x \, dx + \int 2\cos x \, dx \] Bước 2: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int 3\sin x \, dx = 3 \int \sin x \, dx = 3(-\cos x) = -3\cos x \] \[ \int 2\cos x \, dx = 2 \int \cos x \, dx = 2(\sin x) = 2\sin x \] Bước 3: Cộng lại các kết quả đã tính: \[ \int(3\sin x + 2\cos x)dx = -3\cos x + 2\sin x + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $-3\cos x + 2\sin x + C$. Câu 3: Để tính giá trị của $\int^1_0 5 \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5$. Nguyên hàm của $5$ là $5x + C$, trong đó $C$ là hằng số tích phân. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân xác định: \[ \int^1_0 5 \, dx = [5x]_0^1 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm: \[ [5x]_0^1 = 5(1) - 5(0) = 5 - 0 = 5 \] Vậy giá trị của $\int^1_0 5 \, dx$ là 5. Đáp án đúng là: D. 5. Câu 4: Để tính giá trị của tích phân $\int^{\frac{\pi}{3}}_0 \cos x \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\cos x$. Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân: \[ \int^{\frac{\pi}{3}}_0 \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]^{\frac{\pi}{3}}_0 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ \left[ \sin x \right]^{\frac{\pi}{3}}_0 = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) - \sin (0) \] Bước 4: Tính giá trị của $\sin \left( \frac{\pi}{3} \right)$ và $\sin (0)$: \[ \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin (0) = 0 \] Bước 5: Tính kết quả cuối cùng: \[ \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) - \sin (0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy giá trị của tích phân $\int^{\frac{\pi}{3}}_0 \cos x \, dx$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Câu 5: Khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \( y = f(x) \), trục hoành và các đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) quanh trục hoành, ta sẽ tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích \( V \) của khối tròn xoay này được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( \pi \) là hằng số pi. - \( \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) là tích phân của bình phương hàm số \( f(x) \) từ \( x = a \) đến \( x = b \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) Lập luận từng bước: 1. Xác định hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \( y = f(x) \), trục hoành và các đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \). 2. Khi quay D quanh trục hoành, ta tạo thành một khối tròn xoay. 3. Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng công thức \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \). Vậy đáp án đúng là D. Câu 6: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^3 - 3x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \), ta cần xác định các đoạn trên khoảng \( [0, 2] \) mà biểu thức \( x^3 - 3x \) có dấu dương và âm. Bước 1: Tìm các điểm giao của \( y = x^3 - 3x \) với trục hoành: \[ x^3 - 3x = 0 \] \[ x(x^2 - 3) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = \sqrt{3} \text{ hoặc } x = -\sqrt{3} \] Trên khoảng \( [0, 2] \), các điểm giao là \( x = 0 \) và \( x = \sqrt{3} \). Bước 2: Xác định dấu của \( x^3 - 3x \) trên các khoảng \( [0, \sqrt{3}] \) và \( [\sqrt{3}, 2] \): - Trên khoảng \( [0, \sqrt{3}] \), \( x^3 - 3x \leq 0 \) - Trên khoảng \( [\sqrt{3}, 2] \), \( x^3 - 3x \geq 0 \) Bước 3: Tính diện tích hình phẳng: Diện tích \( S \) sẽ là tổng diện tích của hai phần: \[ S = \left| \int_{0}^{\sqrt{3}} (x^3 - 3x) \, dx \right| + \int_{\sqrt{3}}^{2} (x^3 - 3x) \, dx \] Bước 4: Viết lại biểu thức diện tích theo dạng tích phân: \[ S = \int_{0}^{2} |x^3 - 3x| \, dx \] Do đó, mệnh đề đúng là: B. \( S = \int_{0}^{2} |x^3 - 3x| \, dx \). Câu 7: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos^2 \frac{x}{2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức hạ bậc cho \( \cos^2 \frac{x}{2} \): \[ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \] Bước 2: Viết lại hàm số \( f(x) \) dưới dạng: \[ f(x) = \frac{1 + \cos x}{2} \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int \frac{1 + \cos x}{2} \, dx \] \[ F(x) = \frac{1}{2} \int (1 + \cos x) \, dx \] Bước 4: Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 1 \, dx = x \] \[ \int \cos x \, dx = \sin x \] Do đó: \[ F(x) = \frac{1}{2} \left( x + \sin x \right) + C \] \[ F(x) = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C \] Bước 5: So sánh với các đáp án đã cho: A. \( F(x) = 2 \sin \frac{x}{2} + C \) B. \( F(x) = \frac{1}{2}(1 - \sin x) + C \) C. \( F(x) = 2 \cos \frac{x}{2} + C \) D. \( F(x) = \frac{1}{2}(1 + \sin x) + C \) Ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ F(x) = \frac{1}{2}(1 + \sin x) + C \] Vậy đáp án đúng là: D. \( F(x) = \frac{1}{2}(1 + \sin x) + C \)