Trả lời phần đúng sai PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c),,d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,Câu 1. Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-x,x=-1,x=2$ và trục hoành .Gọi S là,diện tích của D..,$a)~S=\frac56.$,b) Thể tích của khối tròn xoay khi quay D quanh trục Ox được tính bằng $V=\pi\int^2_{-1}(x^2-x)^2dx.$,$c)~S=\int^2|x^2-x|dx.$,$d)~S=\int^{-1}_{-1}(x^2-x)dx+\int^2_0(x^2-x)dx.$,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có đường kính AB với tọa độ các điểm $A(1;2;-4),$,$B(3;-2;0)$ và mặt cầu $(S^\prime):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0.$,a) Phương trình mặt cầu $(S):~(x+2)^2+y^2+(z-2)^2=9.$,b) Mặt cầu (S) có tâm $I(2;0;-2).$,c) Điểm $M(0;1;-5)$ nằm trong mặt cầu (S).,d) Mặt cầu (S') có bán kính lớn hơn bán kính của mặt cầu (S).,Câu 3. Khi kiểm tra sức khoẻ tổng quát của bệnh nhân ở một bệnh viện, người ta được kết quả như sau:,- Có 40% bệnh nhân bị đau dạ dày.,- Có 30% bệnh nhân thường xuyên bị stress.,- Trong số các bệnh nhân bị stress có 80% bệnh nhân bị đau dạ dày.,Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân.,a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là 0,3.,b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, là 0,6 .,c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là 0,24..,d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đâu dạ dày là 0,8.,Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(0;-3;2)$ và mặt phẳng $(P):~2x-y+3z+5=0.$,a) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và song song với mặt phẳng $(P):~2x-y+3z+5=0$ là,$2x-y+3z-9=0.$,b) Mặt phẳng $(P):~2x-y+3z+5=0$ vuông góc với mặt phẳng $(R):~2x+y-z+6=0.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự.

a) Diện tích S của hình phẳng D

Hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = x^2 - x $, các đường thẳng $ x = -1 $, $ x = 2 $ và trục hoành. Diện tích S của D được tính bằng cách tích phân hàm số $ |x^2 - x| $ từ $ x = -1 $ đến $ x = 2 $.

Phương trình $ x^2 - x = 0 $ có nghiệm là $ x = 0 $ và $ x = 1 $. Do đó, ta chia đoạn tích phân thành các đoạn nhỏ hơn để tính diện tích chính xác.

Diện tích S được tính như sau:
$$ S = \int_{-1}^{0} (x^2 - x) \, dx + \int_{0}^{1} -(x^2 - x) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - x) \, dx $$

Tính từng tích phân:
$$ \int_{-1}^{0} (x^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{-1}{3} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} $$

$$ \int_{0}^{1} -(x^2 - x) \, dx = -\left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = -\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = -\left( \frac{2}{6} - \frac{3}{6} \right) = \frac{1}{6} $$

$$ \int_{1}^{2} (x^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) - \left( \frac{2}{6} - \frac{3}{6} \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $$

Tổng diện tích:
$$ S = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6} $$

Do đó, đáp án a) $ S = \frac{5}{6} $ là sai.

b) Thể tích của khối tròn xoay khi quay D quanh trục Ox

Thể tích V của khối tròn xoay khi quay D quanh trục Ox được tính bằng công thức:
$$ V = \pi \int_{-1}^{2} (x^2 - x)^2 \, dx $$

Đáp án b) đúng.

c) Diện tích S của D

Diện tích S của D được tính bằng cách tích phân hàm số $ |x^2 - x| $ từ $ x = -1 $ đến $ x = 2 $:
$$ S = \int_{-1}^{2} |x^2 - x| \, dx $$

Đáp án c) đúng.

d) Diện tích S của D

Diện tích S của D được tính bằng cách chia đoạn tích phân thành các đoạn nhỏ hơn:
$$ S = \int_{-1}^{0} (x^2 - x) \, dx + \int_{0}^{1} -(x^2 - x) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - x) \, dx $$

Đáp án d) đúng.

Kết luận
Đáp án đúng là b), c) và d). Đáp án a) là sai vì diện tích S không bằng $\frac{5}{6}$.

Câu 2.
a) Ta có trung điểm của đoạn thẳng AB là:
$$ I\left(\frac{1+3}{2}; \frac{2-2}{2}; \frac{-4+0}{2}\right) = I(2; 0; -2) $$

Bán kính của mặt cầu (S) là:
$$ R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(3-1)^2 + (-2-2)^2 + (0+4)^2}}{2} = \frac{\sqrt{4 + 16 + 16}}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} = 3 $$

Phương trình mặt cầu (S) là:
$$ (x - 2)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 9 $$

b) Mặt cầu (S) có tâm $ I(2; 0; -2) $.

c) Ta thay tọa độ điểm $ M(0; 1; -5) $ vào phương trình mặt cầu (S):
$$ (0 - 2)^2 + 1^2 + (-5 + 2)^2 = 4 + 1 + 9 = 14 > 9 $$
Do đó, điểm $ M $ nằm ngoài mặt cầu (S).

d) Ta viết lại phương trình mặt cầu $ (S') $ dưới dạng chuẩn:
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 2 = 0 $$
$$ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) = 2 + 1 + 4 + 9 $$
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16 $$

Mặt cầu $ (S') $ có tâm $ I'(1; -2; 3) $ và bán kính $ R' = 4 $.

So sánh bán kính của hai mặt cầu:
$$ R' = 4 > R = 3 $$

Vậy mặt cầu $ (S') $ có bán kính lớn hơn mặt cầu (S).

Đáp số:
a) Phương trình mặt cầu (S): $ (x - 2)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 9 $
b) Tâm của mặt cầu (S): $ I(2; 0; -2) $
c) Điểm $ M(0; 1; -5) $ nằm ngoài mặt cầu (S).
d) Mặt cầu $ (S') $ có bán kính lớn hơn mặt cầu (S).

Câu 3.
Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về xác suất và xác suất có điều kiện.

a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là 0,3.
- Đây là xác suất ban đầu đã cho trong đề bài, không cần tính toán thêm.

b) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, là 0,6.
- Theo đề bài, trong số các bệnh nhân bị stress có 80% bệnh nhân bị đau dạ dày. Do đó, xác suất này là 0,8, không phải 0,6.

c) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là 0,24.
- Ta sử dụng công thức xác suất giao của hai sự kiện:
$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) $$
Trong đó:
- $ P(A) $ là xác suất bệnh nhân bị stress, tức là 0,3.
- $ P(B|A) $ là xác suất bệnh nhân bị đau dạ dày khi biết bệnh nhân đó bị stress, tức là 0,8.
Do đó:
$$ P(A \cap B) = 0,3 \times 0,8 = 0,24 $$

d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là 0,8.
- Ta sử dụng công thức xác suất có điều kiện:
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
Trong đó:
- $ P(A \cap B) $ là xác suất bệnh nhân vừa bị stress vừa bị đau dạ dày, đã tính ở phần c là 0,24.
- $ P(B) $ là xác suất bệnh nhân bị đau dạ dày, tức là 0,4.
Do đó:
$$ P(A|B) = \frac{0,24}{0,4} = 0,6 $$

Tóm lại:
a) Đúng, xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là 0,3.
b) Sai, xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress, là 0,8.
c) Đúng, xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là 0,24.
d) Sai, xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là 0,6.

Câu 4.
a) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(0;-3;2)$ và song song với mặt phẳng $(P):~2x-y+3z+5=0$ là $2x-y+3z-9=0.$

Lập luận:
- Mặt phẳng song song với $(P)$ sẽ có cùng vector pháp tuyến $\vec{n}=(2,-1,3).$
- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(0;-3;2)$ và có vector pháp tuyến $\vec{n}=(2,-1,3)$ là $2(x-0)-1(y+3)+3(z-2)=0,$
suy ra $2x-y+3z-9=0.$

b) Mặt phẳng $(P):~2x-y+3z+5=0$ vuông góc với mặt phẳng $(R):~2x+y-z+6=0.$

Lập luận:
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n_1}=(2,-1,3).$
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$ là $\vec{n_2}=(2,1,-1).$
- Ta có $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=2\times2+(-1)\times1+3\times(-1)=0,$ suy ra $\vec{n_1}\perp\vec{n_2},$ do đó mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(R).$