Giúp tôi với

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa hàm số và nguyên hàm của nó. - Nếu hàm số \( y = f(x) \) có một nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là hàm số \( y = F(x) \), điều đó có nghĩa là đạo hàm của \( F(x) \) sẽ cho ta lại \( f(x) \). Ta có: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R} \) Lập luận từng bước: 1. Nguyên hàm của \( f(x) \) là \( F(x) \), nghĩa là \( F(x) \) là một hàm số sao cho đạo hàm của nó là \( f(x) \). 2. Theo định nghĩa của đạo hàm và nguyên hàm, ta có: \[ F'(x) = f(x) \] 3. Điều này đúng với mọi \( x \) thuộc tập số thực \(\mathbb{R}\). Vậy đáp án đúng là: C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R} \) Câu 2. Phát biểu đúng là: D. $\int f'(x)dx = f(x) + C.$ Lập luận từng bước: - Ta biết rằng đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f'(x)$. - Nguyên hàm của $f'(x)$ sẽ là $f(x)$ cộng thêm hằng số $C$ (vì khi lấy đạo hàm của một hằng số thì kết quả là 0). Do đó, phát biểu đúng là: D. $\int f'(x)dx = f(x) + C.$ Câu 3. A. Đúng vì tích phân của tổng hai hàm bằng tổng các tích phân của mỗi hàm. B. Sai vì tích phân của tích hai hàm không bằng tích các tích phân của mỗi hàm. C. Sai vì tích phân của tổng hai hàm bằng tổng các tích phân của mỗi hàm, không phải hiệu. D. Sai vì tích phân của thương hai hàm không bằng thương các tích phân của mỗi hàm. Vậy phát biểu đúng là: A. $\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$ với $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm bất kì liên tục trên $\mathbb R.$ Câu 4. Ta cần tính tích phân của $\pi^3$ theo biến $x$. Bước 1: Xác định tích phân cơ bản. - $\pi^3$ là hằng số, do đó tích phân của nó sẽ là $\pi^3$ nhân với biến $x$ cộng thêm hằng số $C$. Bước 2: Viết kết quả tích phân. - $\int \pi^3 \, dx = \pi^3 x + C$ Do đó, phát biểu đúng là: D. $\int \pi^3 \, dx = \pi^3 x + C$ Đáp án: D. $\int \pi^3 \, dx = \pi^3 x + C$ Câu 5. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu đúng. A. $\int 0 \, dr = -x + C$ - Nguyên hàm của 0 là hằng số, do đó $\int 0 \, dr = C$. Phát biểu này sai vì nó đưa ra một biểu thức không liên quan đến biến $r$. B. $\int 0 \, dx = x + C$ - Nguyên hàm của 0 là hằng số, do đó $\int 0 \, dx = C$. Phát biểu này sai vì nó đưa ra một biểu thức không liên quan đến biến $x$. C. $\int 0 \, dx = Cx$, $C \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ - Nguyên hàm của 0 là hằng số, do đó $\int 0 \, dx = C$. Phát biểu này sai vì nó đưa ra một biểu thức nhân với biến $x$, trong khi nguyên hàm của 0 là hằng số. D. $\int 0 \, dx = C$ - Nguyên hàm của 0 là hằng số, do đó $\int 0 \, dx = C$. Phát biểu này đúng. Vậy phát biểu đúng là: D. $\int 0 \, dx = C$. Câu 6. Ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( k \) (trong đó \( k \) là hằng số khác 0). Nguyên hàm của một hằng số \( k \) là: \[ \int k \, dx = kx + C \] Trong đó: - \( k \) là hằng số. - \( x \) là biến. - \( C \) là hằng số tích phân. Do đó, phát biểu đúng là: B. \( \int k \, dx = kx + C \) Đáp án: B. \( \int k \, dx = kx + C \) Câu 7. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = x^n \), chúng ta cần tìm một hàm số \( F(x) \) sao cho đạo hàm của nó là \( x^n \). Ta biết rằng đạo hàm của \( x^{n+1} \) là: \[ \frac{d}{dx}(x^{n+1}) = (n+1)x^n \] Do đó, để có đạo hàm là \( x^n \), ta cần chia \( x^{n+1} \) cho \( n+1 \): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^n \] Như vậy, nguyên hàm của \( y = x^n \) là: \[ F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là: D. \( y = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) Đáp án: D. \( y = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) Câu 8. Ta cần tìm nguyên hàm của hàm số $\sin x$. Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x + C$, trong đó $C$ là hằng số tích phân. Do đó, phát biểu đúng là: C. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ Đáp án: C. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ Câu 9. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần biết công thức tích phân của hàm cos(x). Công thức tích phân của hàm cos(x) là: \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \] Trong đó, C là hằng số tích phân. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. $\int \cos x \, dx = -\sin x + C$ B. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$ C. $\int \cos x \, dx = -\cos x + C$ D. $\int \cos x \, dx = \cos x + C$ So sánh với công thức tích phân chuẩn, ta thấy rằng đáp án đúng là: B. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$ Vậy đáp án đúng là B. Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của $\frac{1}{\sin^2 x}$. Bước 1: Xác định dạng tích phân. \[ \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx \] Bước 2: Nhận biết rằng $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$. \[ \int \csc^2 x \, dx \] Bước 3: Áp dụng công thức tích phân cơ bản. \[ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \] Do đó, phát biểu đúng là: A. $\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C$ Đáp án: A. $\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C$ Câu 11. Ta cần tìm nguyên hàm của $\frac{1}{\cos^2 x}$. Biết rằng: \[ \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \] Và ta biết rằng: \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \] Do đó: \[ \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C \] Vậy phát biểu đúng là: D. $\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C$ Câu 12. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu nào là đúng. A. $\int e^\prime dx = e^{-i} + C$ B. $\int e^\prime dx = e^\prime + C$ Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng $e^\prime$ là đạo hàm của hàm số $e^x$. Đạo hàm của $e^x$ là $e^x$, tức là $e^\prime = e^x$. Do đó, tích phân của $e^\prime$ sẽ là: $\int e^\prime dx = \int e^x dx = e^x + C$ Như vậy, cả hai phát biểu đều không đúng vì: - Phát biểu A: $\int e^\prime dx = e^{-i} + C$ là sai vì $e^{-i}$ không liên quan đến tích phân của $e^x$. - Phát biểu B: $\int e^\prime dx = e^\prime + C$ cũng là sai vì $e^\prime = e^x$, nên tích phân của nó phải là $e^x + C$. Vậy phát biểu đúng là: $\int e^\prime dx = e^x + C$ Đáp án: Cả hai phát biểu đều sai. Phát biểu đúng là $\int e^\prime dx = e^x + C$.