giải hộ e câu này

Câu 3: a) Đúng vì $\cos\alpha=\frac1{\sqrt3}$ b) Sai vì $\cos\varphi=\frac{11}{\sqrt{21}\times\sqrt{11}}>\frac12=\cos60^0$ c) Đúng vì $\cos\beta=\frac{2+m}{3\times\sqrt{1+m^2}}=\frac{\sqrt2}3.$ Suy ra $m=1$ hoặc $m=7.$ Vậy tổng các giá trị của tham số m bằng 8. d) Sai vì $\vec{n}=(2;-1;-1)$ và $\vec{u}=(1;1;-1).$ Ta có $\vec{AB}=(2;1;-3).$ Mặt khác $\vec{AB}\cdot\vec{n}=0$ và $\vec{AB}\cdot\vec{u}\neq0$ nên đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm B. Câu 4: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Phương trình tham số của đường thẳng AA' Trước tiên, ta cần xác định tọa độ của điểm A' để viết phương trình tham số của đường thẳng AA'. - Điểm A có tọa độ $(0, \sqrt{3}, 0)$. - Điểm N có tọa độ $(0, 0, \sqrt{2})$ và là trung điểm của B'C'. - Vì lăng trụ tam giác đều, nên A' sẽ nằm trên đường thẳng thẳng đứng từ A lên trên, tức là tọa độ của A' sẽ là $(0, \sqrt{3}, z)$. Do đó, tọa độ của A' là $(0, \sqrt{3}, \sqrt{2})$. Phương trình tham số của đường thẳng AA' là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = \sqrt{3} \\ z = t \end{array} \right. \] b) Chứng minh $A' C \perp AB'$ Ta cần tính vectơ $A'C$ và $AB'$ và kiểm tra xem chúng có vuông góc với nhau hay không. - Tọa độ của $A'$ là $(0, \sqrt{3}, \sqrt{2})$. - Tọa độ của $C$ là $(1, 0, 0)$. - Tọa độ của $B'$ là $(0, -\sqrt{3}, \sqrt{2})$ (vì B' đối xứng với B qua trục y). Vectơ $A'C$: \[ \overrightarrow{A'C} = (1 - 0, 0 - \sqrt{3}, 0 - \sqrt{2}) = (1, -\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \] Vectơ $AB'$: \[ \overrightarrow{AB'} = (0 - 0, -\sqrt{3} - \sqrt{3}, \sqrt{2} - 0) = (0, -2\sqrt{3}, \sqrt{2}) \] Kiểm tra tích vô hướng: \[ \overrightarrow{A'C} \cdot \overrightarrow{AB'} = 1 \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot (-2\sqrt{3}) + (-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 0 + 6 - 2 = 4 \neq 0 \] Như vậy, $A'C$ không vuông góc với $AB'$. c) Góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này. - Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$. - Mặt phẳng (A'BC) có vectơ pháp tuyến $\vec{n_2} = \overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'C}$. Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 0, -\sqrt{3} - \sqrt{3}, 0 - 0) = (0, -2\sqrt{3}, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = (1 - 0, 0 - \sqrt{3}, 0 - 0) = (1, -\sqrt{3}, 0) \] Tính vectơ $\overrightarrow{A'B}$ và $\overrightarrow{A'C}$: \[ \overrightarrow{A'B} = (0 - 0, -\sqrt{3} - \sqrt{3}, \sqrt{2} - \sqrt{2}) = (0, -2\sqrt{3}, 0) \] \[ \overrightarrow{A'C} = (1 - 0, 0 - \sqrt{3}, 0 - \sqrt{2}) = (1, -\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \] Tính vectơ pháp tuyến $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$: \[ \vec{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2\sqrt{3} & 0 \\ 1 & -\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 2\sqrt{3}) \] \[ \vec{n_2} = \overrightarrow{A'B} \times \overrightarrow{A'C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2\sqrt{3} & 0 \\ 1 & -\sqrt{3} & -\sqrt{2} \end{vmatrix} = (2\sqrt{6}, 0, 2\sqrt{3}) \] Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{(0, 0, 2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{6}, 0, 2\sqrt{3})}{\sqrt{0^2 + 0^2 + (2\sqrt{3})^2} \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 0^2 + (2\sqrt{3})^2}} \] \[ = \frac{0 + 0 + 12}{\sqrt{12} \sqrt{24 + 12}} = \frac{12}{\sqrt{12} \sqrt{36}} = \frac{12}{6 \sqrt{12}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 45^\circ \] d) Sin của góc giữa đường thẳng B'C và mặt phẳng AA'C Ta cần tìm góc giữa đường thẳng B'C và mặt phẳng AA'C. - Vectơ $\overrightarrow{B'C} = (1 - 0, 0 - (-\sqrt{3}), 0 - \sqrt{2}) = (1, \sqrt{3}, -\sqrt{2})$. - Mặt phẳng AA'C có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{AA'} \times \overrightarrow{AC}$. Tính vectơ $\overrightarrow{AA'}$: \[ \overrightarrow{AA'} = (0 - 0, \sqrt{3} - \sqrt{3}, \sqrt{2} - 0) = (0, 0, \sqrt{2}) \] Tính vectơ pháp tuyến $\vec{n}$: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AA'} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & -\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (0, \sqrt{2}, 0) \] Tính góc giữa vectơ $\overrightarrow{B'C}$ và vectơ pháp tuyến $\vec{n}$: \[ \sin \phi = \frac{|\overrightarrow{B'C} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{B'C}| |\vec{n}|} = \frac{|(1, \sqrt{3}, -\sqrt{2}) \cdot (0, \sqrt{2}, 0)|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{2})^2} \sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2 + 0^2}} \] \[ = \frac{|0 + 2\sqrt{3} + 0|}{\sqrt{1 + 3 + 2} \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{30}} \] Vậy sin của góc giữa đường thẳng B'C và mặt phẳng AA'C là $\frac{2}{\sqrt{30}}$.