giải giúp mình bài 5 và bài 6 với ạ

### Bài tập 5

Cho vận tốc của vật chuyển động là \( v(t) = \frac{1}{2\pi} + \frac{\sin(\pi t)}{\pi} \) (m/s).

Gọi \( S_1 \) là quãng đường vật đó đi trong 2 giây đầu (từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \)) và \( S_2 \) là quãng đường đi từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 (từ \( t = 3 \) đến \( t = 5 \)).

Chúng ta cần chứng minh rằng \( S_2 > S_1 \).

#### 1. Tính quãng đường \( S_1 \):

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 2 \) là tích phân của vận tốc theo thời gian:
\[
S_1 = \int_0^2 v(t) \, dt = \int_0^2 \left( \frac{1}{2\pi} + \frac{\sin(\pi t)}{\pi} \right) dt.
\]
Chia ra thành hai phần:
\[
S_1 = \int_0^2 \frac{1}{2\pi} \, dt + \int_0^2 \frac{\sin(\pi t)}{\pi} \, dt.
\]
Tính từng phần:
- Phần đầu:
\[
\int_0^2 \frac{1}{2\pi} \, dt = \frac{1}{2\pi} \cdot (2 - 0) = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}.
\]
- Phần thứ hai:
\[
\int_0^2 \frac{\sin(\pi t)}{\pi} \, dt = \frac{1}{\pi} \int_0^2 \sin(\pi t) \, dt.
\]
Tính đạo hàm của \( \sin(\pi t) \):
\[
\int_0^2 \sin(\pi t) \, dt = \left[ -\frac{1}{\pi} \cos(\pi t) \right]_0^2 = -\frac{1}{\pi} \left( \cos(2\pi) - \cos(0) \right) = -\frac{1}{\pi} (1 - 1) = 0.
\]
Do đó, phần này bằng 0.

Vậy quãng đường \( S_1 \) là:
\[
S_1 = \frac{1}{\pi}.
\]

#### 2. Tính quãng đường \( S_2 \):

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \( t = 3 \) đến \( t = 5 \) là:
\[
S_2 = \int_3^5 v(t) \, dt = \int_3^5 \left( \frac{1}{2\pi} + \frac{\sin(\pi t)}{\pi} \right) dt.
\]
Chia ra thành hai phần:
\[
S_2 = \int_3^5 \frac{1}{2\pi} \, dt + \int_3^5 \frac{\sin(\pi t)}{\pi} \, dt.
\]
Tính từng phần:
- Phần đầu:
\[
\int_3^5 \frac{1}{2\pi} \, dt = \frac{1}{2\pi} \cdot (5 - 3) = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}.
\]
- Phần thứ hai:
\[
\int_3^5 \frac{\sin(\pi t)}{\pi} \, dt = \frac{1}{\pi} \int_3^5 \sin(\pi t) \, dt.
\]
Tính đạo hàm của \( \sin(\pi t) \):
\[
\int_3^5 \sin(\pi t) \, dt = \left[ -\frac{1}{\pi} \cos(\pi t) \right]_3^5 = -\frac{1}{\pi} \left( \cos(5\pi) - \cos(3\pi) \right).
\]
Vì \( \cos(5\pi) = \cos(\pi) = -1 \) và \( \cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1 \), ta có:
\[
\int_3^5 \sin(\pi t) \, dt = -\frac{1}{\pi} (-1 + 1) = 0.
\]

Vậy quãng đường \( S_2 \) là:
\[
S_2 = \frac{1}{\pi}.
\]

#### 3. So sánh \( S_1 \) và \( S_2 \):

Từ kết quả trên, ta thấy \( S_1 = \frac{1}{\pi} \) và \( S_2 = \frac{1}{\pi} \).

Vậy \( S_2 = S_1 \), không phải \( S_2 > S_1 \).

---

### Bài tập 6

Cho gia tốc \( a(t) = \sin\left( 2t + \frac{\pi}{3} \right) \). Biết tại thời điểm \( t = 0 \), vận tốc và quãng đường đi được của vật đều bằng 0.

Chúng ta cần thiết lập công thức tính quãng đường đi được của vật theo thời gian.

#### 1. Tính vận tốc \( v(t) \):

Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường, và gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc. Vậy ta có:
\[
v(t) = \int a(t) \, dt = \int \sin\left( 2t + \frac{\pi}{3} \right) \, dt.
\]
Dễ dàng tính được tích phân của \( \sin \) bằng cách sử dụng công thức:
\[
\int \sin(2t + \frac{\pi}{3}) \, dt = -\frac{1}{2} \cos\left( 2t + \frac{\pi}{3} \right) + C_1.
\]
Vì tại \( t = 0 \), vận tốc \( v(0) = 0 \), ta thay \( t = 0 \) vào và giải cho \( C_1 \):
\[
v(0) = -\frac{1}{2} \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) + C_1 = 0.
\]
Vì \( \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \), ta có:
\[
-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + C_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_1 = \frac{1}{4}.
\]
Do đó, vận tốc \( v(t) \) là:
\[
v(t) = -\frac{1}{2} \cos\left( 2t + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{4}.
\]

#### 2. Tính quãng đường \( S(t) \):

Quãng đường \( S(t) \) là tích phân của vận tốc \( v(t) \), ta có:
\[
S(t) = \int v(t) \, dt = \int \left( -\frac{1}{2} \cos\left( 2t + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{4} \right) dt.
\]
Tính từng phần:
\[
S(t) = -\frac{1}{4} \sin\left( 2t + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{4}t + C_2.
\]
Vì tại \( t = 0 \), quãng đường \( S(0) = 0 \), ta thay \( t = 0 \) vào và giải cho \( C_2 \):
\[
S(0) = -\frac{1}{4} \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{4} \cdot 0 + C_2 = 0.
\]
Vì \( \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta có:
\[
-\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + C_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_2 = \frac{\sqrt{3}}{8}.
\]

Do đó, công thức quãng đường \( S(t) \) là:
\[
S(t) = -\frac{1}{4} \sin\left( 2t + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{4} t + \frac{\sqrt{3}}{8}.
\]

---

### Kết luận:
- Trong bài tập 5, quãng đường \( S_2 = S_1 \), không phải \( S_2 > S_1 \).
- Trong bài tập 6, công thức tính quãng đường đi được là \( S(t) = -\frac{1}{4} \sin\left( 2t + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{4} t + \frac{\sqrt{3}}{8}. \)