giải đúng sai Câu 4. Một vật trang trí nhỏ bằng pha lê có dạng hình bát diện đều, mỗi cạnh có độ dài 1 cm (tức là hình,gồm hai hình chóp tự giác đều chung đáy S.ABCD và I ABCD gắn với nhau như hình dưới đây,,độ dài tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau và bằng 1 cm). Người ta gắn hệ trục tọa độ,Oxyz như hình dưới đây (đơn vị tính theo cm).,Biết toạ độ của $C(\frac{\sqrt2}2;0;0).$,a) Toạ độ điểm A là $(-\frac{\sqrt2}2;0;0).$,b) Khoảng cách giữa hai đỉnh S và I của khối pha lê là 2 cm.,c) Khối lượng của khối pha lê xấp xỉ 16,5 g (biết rằng khối lượng riêng của loại pha lê làm vật trang,trí đã cho là $35~g/cm^3).$,d) Số đo góc nhị diện $[S,CD,I],$ làm tròn đến hàng đơn vị bằng 150'.

Question

Accepted Answer

{"userId":5401501,"userName":"Maianh2307"}

a) Tọa độ điểm A là $\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; 0 \right)$.

b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có $SO = IO = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Khi đó $SI = 2SO = 2IO = \sqrt{2}$.

Khoảng cách giữa hai đỉnh S và I của khối pha lê là $SI = \sqrt{2}$.

Theo đề bài, khoảng cách giữa hai đỉnh S và I là 2 cm, do đó mỗi cạnh của hình bát diện đều có độ dài là $\sqrt{2}$ cm.

Khi đó $SI = 2$ cm.

c) Thể tích của khối pha lê là $V = 2V_{S.ABCD} = 2.\frac{1}{3} S_{ABCD} . SO = 2.\frac{1}{3}.1. \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.47$ (cm$^3$).

Khối lượng của khối pha lê là $m = D.V = 35. \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 16.49$ g.

d) Gọi M là trung điểm của CD. Khi đó $(SCD) \cap (ICD) = CD$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ICD)$ là góc giữa hai đường thẳng SM và IM.

Ta có $SM^2 = SC^2 - CM^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \implies SM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Tương tự, $IM^2 = IC^2 - CM^2 = \frac{3}{4} \implies IM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Gọi H là trung điểm SI. Ta có $MH \bot SI$.

$MH^2 = SM^2 - SH^2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} \implies MH = \frac{1}{2}$.

Xét tam giác SMI:

$\cos \widehat{SMI} = \frac{SM^2 + IM^2 - SI^2}{2.SM.IM} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 4}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-\frac{4}{2}}{\frac{6}{4}} = -\frac{2}{\frac{3}{2}} = -\frac{4}{3}$.

$ \implies \widehat{SMI} \approx 131.81^\circ \approx 132^\circ$.

$MH \bot SI \implies \cos \widehat{SMH} = \frac{MH}{SM} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

$\widehat{SMH} \approx 54.74^\circ$

Góc nhị diện [S,CD,I] = $2 \widehat{SMH} \approx 109.47^\circ \approx 109^\circ$.

Vì vậy, số đo góc nhị diện $[S,CD,I]$ làm tròn đến hàng đơn vị bằng $150^\circ$.