giảiiiiiiiiii

Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$, ta thực hiện như sau: 1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong biểu thức: - Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. - Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. 2. Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm: - Nguyên hàm của $3\cos x$ là $3\sin x$. - Nguyên hàm của $-4\sin x$ là $4\cos x$. 3. Kết hợp lại, ta có: \[ \int f(x) \, dx = \int (3\cos x - 4\sin x) \, dx = 3\sin x + 4\cos x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Do đó, đáp án đúng là: C. $3\sin x + 4\cos x + C$. Câu 2: Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x+\frac{3}{\sin^2x}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong tổng. - Nguyên hàm của $2\sin x$ là $-2\cos x + C_1$, vì $\int 2\sin x dx = -2\cos x + C_1$. - Nguyên hàm của $\frac{3}{\sin^2x}$ là $-3\cot x + C_2$, vì $\int \frac{3}{\sin^2x} dx = -3\cot x + C_2$. Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau. Do đó, nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ \int f(x) dx = \int (2\sin x + \frac{3}{\sin^2x}) dx = -2\cos x - 3\cot x + C \] Trong đó, $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Vậy đáp án đúng là: A. $-2\cos x - 3\cot x + C$. Câu 3: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở rộng biểu thức \( (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 \): \[ (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 = \cos^2\frac{x}{2} + 2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} \] Bước 2: Áp dụng công thức Pythagoras \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \): \[ \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2} = 1 \] Do đó: \[ (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 = 1 + 2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} \] Bước 3: Áp dụng công thức nhân đôi \( 2\cos\theta\sin\theta = \sin(2\theta) \): \[ 2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2} = \sin x \] Do đó: \[ (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 = 1 + \sin x \] Bước 4: Tìm nguyên hàm của \( 1 + \sin x \): \[ \int (1 + \sin x) \, dx = \int 1 \, dx + \int \sin x \, dx \] \[ = x - \cos x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2})^2 \) là: \[ x - \cos x + C \] Đáp án đúng là: B. \( x - \cos x + C \). Câu 4: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng công thức hạ bậc cho \( \cos^2 \frac{x}{2} \): \[ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ f(x) = 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \left( \frac{1 + \cos x}{2} \right) = 1 + \cos x \] Bước 3: Tìm nguyên hàm của \( 1 + \cos x \): \[ \int (1 + \cos x) \, dx = \int 1 \, dx + \int \cos x \, dx = x + \sin x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \) là: \[ x + \sin x + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( x + \sin x + C \). Câu 5: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \tan^2 x + \cot^2 x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ. - Ta biết rằng \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) và \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \). Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ f(x) = (\sec^2 x - 1) + (\csc^2 x - 1) = \sec^2 x + \csc^2 x - 2 \] Bước 3: Tìm nguyên hàm từng thành phần: - Nguyên hàm của \( \sec^2 x \) là \( \tan x \). - Nguyên hàm của \( \csc^2 x \) là \( -\cot x \). - Nguyên hàm của hằng số \(-2\) là \(-2x\). Bước 4: Kết hợp lại để tìm nguyên hàm tổng: \[ \int f(x) \, dx = \int (\sec^2 x + \csc^2 x - 2) \, dx = \tan x - \cot x - 2x + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \tan^2 x + \cot^2 x \) là: \[ \boxed{\tan x - \cot x - 2x + C} \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( \tan x - \cot x - 2x + C \). Câu 6: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x + \sin(2x + 1) \), ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong tổng này. 1. Tìm nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \sin(2x + 1) \): \[ \int \sin(2x + 1) \, dx \] Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt \( u = 2x + 1 \), suy ra \( du = 2 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{du}{2} \). Do đó: \[ \int \sin(2x + 1) \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{2} \cos(u) + C_2 = -\frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C_2 \] Gộp lại, ta có: \[ F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \cos(2x + 1) + C \] Trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là: D. \( F(x) = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} \cos(2x + 1) \) Vậy, đáp án đúng là D. Câu 7: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2\sin x - \cos x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Ta có: \[ F(x) = \int (2\sin x - \cos x) \, dx \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C_1 \] \[ \int -\cos x \, dx = -\sin x + C_2 \] Vậy: \[ F(x) = -2\cos x - \sin x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \). Thay \( x = \frac{\pi}{3} \) vào \( F(x) \): \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -2\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + C \] Biết rằng: \[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \] \[ \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + C \] \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + C \] Theo đề bài, ta có: \[ -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + C = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Giải ra \( C \): \[ C = -1 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được. \[ F(x) = -2\cos x - \sin x - 1 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( F(x) = -2\cos x - \sin x - 1 \). Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\cos^2 x} \). Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số. - Nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_1 \] - Nguyên hàm của \( \frac{1}{\cos^2 x} \): \[ \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_2 \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{\cos^2 x} \right) \, dx = \ln |x| + \tan x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát. Do đó, khẳng định đúng là: A. \( \int f(x) \, dx = \ln |x| + \tan x + C \) Đáp án: A. \( \int f(x) \, dx = \ln |x| + \tan x + C \)