hdbe ggkddndb

Câu 46. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x^2} + 2^x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ. 1. Tìm nguyên hàm của \( \frac{1}{x^2} \): \[ \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C_1 = -\frac{1}{x} + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( 2^x \): \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C_2 \] Gộp lại, ta có: \[ F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Vậy đáp án đúng là: B. \( F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{2^x}{\ln 2} + C \) Đáp án: B. \( F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{2^x}{\ln 2} + C \) Câu 47. Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất của tích phân. A. $\int[f(x) + C]dx = \int f(x)dx + Cx$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng các tích phân của từng hàm số: \[ \int [f(x) + C] dx = \int f(x) dx + \int C dx \] Biết rằng $\int C dx = Cx$, nên: \[ \int [f(x) + C] dx = \int f(x) dx + Cx \] Mệnh đề này đúng. B. $\int[f(x) + C]dx = \int f(x)dx + Cx + C$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng các tích phân của từng hàm số: \[ \int [f(x) + C] dx = \int f(x) dx + \int C dx \] Biết rằng $\int C dx = Cx$, nên: \[ \int [f(x) + C] dx = \int f(x) dx + Cx \] Mệnh đề này sai vì nó thêm một hằng số C vào cuối, không đúng theo tính chất tích phân. C. $\int[f(x) + C]dx = \int f(x)dx + \int Cdx$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng các tích phân của từng hàm số: \[ \int [f(x) + C] dx = \int f(x) dx + \int C dx \] Mệnh đề này đúng. D. $\int[f(x) + C]dx = \int f(x)dx + C$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng các tích phân của từng hàm số: \[ \int [f(x) + C] dx = \int f(x) dx + \int C dx \] Biết rằng $\int C dx = Cx$, nên: \[ \int [f(x) + C] dx = \int f(x) dx + Cx \] Mệnh đề này sai vì nó chỉ thêm hằng số C mà không nhân với x. Vậy mệnh đề sai là: B. $\int[f(x) + C]dx = \int f(x)dx + Cx + C$ Câu 48. A. $\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.$ đúng vì tích phân của tổng hai hàm bằng tổng các tích phân của chúng. B. $\int f^\prime(x)dx=f(x)+C.$ đúng vì tích phân của đạo hàm của một hàm số bằng chính hàm số đó cộng thêm hằng số. C. $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx,~\forall k\in\mathbb R.$ đúng vì tích phân của một hằng số nhân với một hàm số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. D. $\int[f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx.$ đúng vì tích phân của hiệu hai hàm bằng hiệu các tích phân của chúng. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng. Tuy nhiên, theo yêu cầu của câu hỏi, chúng ta cần tìm mệnh đề sai. Do đó, câu trả lời là: Đáp án: Không có mệnh đề sai trong các lựa chọn đã cho. Câu 49. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 2x + 5 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử trong \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] - Nguyên hàm của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] - Nguyên hàm của hằng số 5: \[ \int 5 \, dx = 5x \] Bước 2: Cộng tất cả các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \): \[ F(x) = x^3 + x^2 + 5x + C \] Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 2x + 5 \) là: \[ F(x) = x^3 + x^2 + 5x + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F(x) = x^3 + x^2 + 5x + C \). Câu 50. A. Mệnh đề này sai vì tích phân của tích hai hàm số không bằng tích của tích phân của mỗi hàm số. B. Mệnh đề này đúng vì tích phân của một hằng số nhân với một hàm số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. C. Mệnh đề này đúng vì tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng của tích phân của mỗi hàm số. D. Mệnh đề này đúng vì tích phân của hiệu hai hàm số bằng hiệu của tích phân của mỗi hàm số. Vậy mệnh đề sai là: A. Câu 51. Để tìm các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^2 - 3x + \frac{1}{x} \), ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số: - Nguyên hàm của \( x^2 \) là \( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \) - Nguyên hàm của \( -3x \) là \( \int -3x \, dx = -\frac{3x^2}{2} + C_2 \) - Nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \) là \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_3 \) Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả các hằng số \( C_1, C_2, C_3 \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C \) Câu 52. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( y = 2021^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \). Công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( y = 2021^x \): 1. Xác định \( a = 2021 \). 2. Tính \( \ln 2021 \). Do đó, nguyên hàm của \( 2021^x \) là: \[ \int 2021^x \, dx = \frac{2021^x}{\ln 2021} + C \] Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số \( y = 2021^x \) là: \[ \frac{2021^x}{\ln 2021} + C \] Đáp án đúng là: C. $\frac{2021^x}{\ln 2021} + C$. Câu 53. Để tìm một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{3x+1} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nguyên hàm của hàm số mũ. Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( f(x) = e^{3x+1} \) có dạng \( e^{g(x)} \), trong đó \( g(x) = 3x + 1 \). Bước 2: Tìm đạo hàm của \( g(x) \). \( g'(x) = 3 \). Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ. Nguyên hàm của \( e^{g(x)} \) là \( \frac{e^{g(x)}}{g'(x)} \). Áp dụng vào bài toán: \[ \int e^{3x+1} \, dx = \frac{e^{3x+1}}{3} + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Vậy, một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{3x+1} \) là \( \frac{e^{3x+1}}{3} \). Đáp án đúng là: A. \( \frac{e^{3x+1}}{3} \). Câu 54. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 5x^4 + 4x^3 - 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm từng hạng tử của hàm số. - Nguyên hàm của \( 5x^4 \): \[ \int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 \] - Nguyên hàm của \( 4x^3 \): \[ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \] - Nguyên hàm của \( -1 \): \[ \int -1 \, dx = -x \] Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (5x^4 + 4x^3 - 1) \, dx = x^5 + x^4 - x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 5x^4 + 4x^3 - 1 \) là: \[ x^5 + x^4 - x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( x^5 + x^4 - x + C \) Đáp án: A. \( x^5 + x^4 - x + C \)