Giúp em với ạ

Câu 6. Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) trong biểu thức \(F(x) = a\sqrt{x} + b\sqrt[3]{x^2}\), ta cần tính đạo hàm của \(F(x)\) và so sánh với \(f(x)\). Bước 1: Tính đạo hàm của \(F(x)\): \[ F(x) = a\sqrt{x} + b\sqrt[3]{x^2} \] \[ F'(x) = a \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) + b \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x^2}) \] Ta biết rằng: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ \frac{d}{dx}(\sqrt[3]{x^2}) = \frac{d}{dx}(x^{2/3}) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \] Do đó: \[ F'(x) = a \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + b \cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \] Bước 2: So sánh \(F'(x)\) với \(f(x)\): \[ f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{6}{\sqrt[3]{x}} \] So sánh hai biểu thức: \[ a \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + b \cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{6}{\sqrt[3]{x}} \] Bước 3: Xác định các hệ số \(a\) và \(b\): - Từ \(\frac{a}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}}\), ta có: \[ \frac{a}{2} = 2 \implies a = 4 \] - Từ \(\frac{2b}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{6}{\sqrt[3]{x}}\), ta có: \[ \frac{2b}{3} = 6 \implies 2b = 18 \implies b = 9 \] Bước 4: Tính giá trị của \(a + b\): \[ a + b = 4 + 9 = 13 \] Vậy giá trị của \(a + b\) là: \[ \boxed{13} \] Câu 7. Để tìm giá trị của \(2a + b + c\), chúng ta cần xác định các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) trong nguyên hàm \(F(x)\). Bước 1: Tính đạo hàm của \(F(x)\): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c \ln |x|) \] \[ F'(x) = 2ax + b + \frac{c}{x} \] Bước 2: So sánh đạo hàm này với hàm số \(f(x)\): \[ f(x) = \frac{(3x - 5)^2}{x} \] \[ f(x) = \frac{9x^2 - 30x + 25}{x} \] \[ f(x) = 9x - 30 + \frac{25}{x} \] Do đó: \[ 2ax + b + \frac{c}{x} = 9x - 30 + \frac{25}{x} \] Bước 3: So sánh các hệ số tương ứng: - Hệ số của \(x\): \(2a = 9 \Rightarrow a = \frac{9}{2}\) - Hệ số của hằng số: \(b = -30\) - Hệ số của \(\frac{1}{x}\): \(c = 25\) Bước 4: Tính giá trị của \(2a + b + c\): \[ 2a + b + c = 2 \left( \frac{9}{2} \right) - 30 + 25 \] \[ 2a + b + c = 9 - 30 + 25 \] \[ 2a + b + c = 4 \] Vậy giá trị của \(2a + b + c\) là 4. Câu 8. Để tính $F(1)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 3x^2 + 4x$. Bước 1: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$. \[ F(x) = \int (3x^2 + 4x) \, dx \] Ta tính nguyên hàm từng phần: \[ F(x) = \int 3x^2 \, dx + \int 4x \, dx \] \[ = 3 \int x^2 \, dx + 4 \int x \, dx \] \[ = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C \] \[ = x^3 + 2x^2 + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(-1) = 2025$. \[ F(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + C = -1 + 2 + C = 1 + C \] Theo đề bài, $F(-1) = 2025$, vậy: \[ 1 + C = 2025 \] \[ C = 2024 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm $F(x)$ với hằng số $C$ đã tìm được. \[ F(x) = x^3 + 2x^2 + 2024 \] Bước 4: Tính $F(1)$. \[ F(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 2024 \] \[ = 1 + 2 + 2024 \] \[ = 2027 \] Vậy, giá trị của $F(1)$ là $\boxed{2027}$.