Huónggsvvna

Câu 8: Để giải bất phương trình \(2^x \leq 4\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại bất phương trình dưới dạng cơ số giống nhau: Ta nhận thấy rằng \(4\) có thể viết thành \(2^2\). Do đó, bất phương trình trở thành: \[ 2^x \leq 2^2 \] 2. So sánh các cơ số: Vì cơ số \(2\) là số dương lớn hơn \(1\), nên hàm số \(2^x\) là hàm số đồng biến. Điều này có nghĩa là nếu \(2^x \leq 2^2\), thì \(x \leq 2\). 3. Xác định tập nghiệm: Từ bước trên, ta có: \[ x \leq 2 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (-\infty, 2] \] Do đó, đáp án đúng là: C. \((- \infty, 2]\) Đáp số: C. \((- \infty, 2]\) Câu 9: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{DG}$. Ta có: \[ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} \] Ta biết rằng trọng tâm G của tam giác ABC có tính chất: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \] Do đó, ta có thể viết: \[ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GA} \] \[ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GB} \] \[ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GC} \] Thay vào biểu thức ban đầu, ta có: \[ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GC}) \] Gộp các véc tơ giống nhau lại, ta được: \[ = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} \] Vì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$, nên ta có: \[ = 3\overrightarrow{DG} + \overrightarrow{0} \] \[ = 3\overrightarrow{DG} \] Vậy $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{DG}$. Đáp án đúng là: B. $3\overrightarrow{DG}$. Câu 10. Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu: - Giá trị lớn nhất nằm trong nhóm [60;65), cụ thể là 65 cm. - Giá trị nhỏ nhất nằm trong nhóm [40;45), cụ thể là 40 cm. 2. Tính khoảng biến thiên: Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Khoảng biến thiên = 65 - 40 = 25 Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 25. Đáp án đúng là: A. 25. Câu 11: Hình chiếu của điểm \( M(4;5;6) \) xuống mặt phẳng \( (Oyz) \) là điểm \( M' \) có tọa độ \( (0;5;6) \). Lý do: - Mặt phẳng \( (Oyz) \) có phương trình \( x = 0 \). - Khi hình chiếu của điểm \( M \) xuống mặt phẳng \( (Oyz) \), tọa độ \( x \) của điểm đó sẽ là 0, còn tọa độ \( y \) và \( z \) giữ nguyên. Do đó, tọa độ của \( M' \) là \( (0;5;6) \). Đáp án đúng là: D. \( M'(0;5;6) \). Câu 12: Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, chúng ta cần kiểm tra các điểm mà đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương. Bảng xét dấu đạo hàm cho thấy: - \( f'(x) \) thay đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = a \) - \( f'(x) \) thay đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = b \) - \( f'(x) \) thay đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = c \) Từ đó, ta có: - \( x = a \) là điểm cực đại vì \( f'(x) \) thay đổi từ dương sang âm. - \( x = b \) là điểm cực tiểu vì \( f'(x) \) thay đổi từ âm sang dương. - \( x = c \) là điểm cực đại vì \( f'(x) \) thay đổi từ dương sang âm. Như vậy, hàm số \( y = f(x) \) có 3 điểm cực trị. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 1: a) Ta có: $f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(2 \times -\frac{\pi}{2}) - (-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\pi) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(2 \times \frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = \sin(\pi) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$ Vậy $f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ và $f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$ b) Đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin(2x) - x$ là: $f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(2x)] - \frac{d}{dx}[x] = 2\cos(2x) - 1$ c) Để tìm nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$, ta giải phương trình: $2\cos(2x) - 1 = 0$ $\cos(2x) = \frac{1}{2}$ $2x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$, với $k \in \mathbb{Z}$ Trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, các nghiệm là: $x = -\frac{\pi}{6}$ hoặc $x = \frac{\pi}{6}$ d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ta xét các giá trị của $f(x)$ tại các điểm biên và các điểm cực trị: $f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ $f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$ $f(-\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \times -\frac{\pi}{6}) - (-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}$ $f(\frac{\pi}{6}) = \sin(2 \times \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{6} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$ So sánh các giá trị này, ta thấy giá trị nhỏ nhất là $-\frac{\pi}{2}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{2}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ là $-\frac{\pi}{2}$. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa trên thông tin đã cho và các yêu cầu về điều kiện xác định, lập phương trình, và sử dụng kiến thức phù hợp với trình độ lớp 12. Bước 1: Tính quãng đường từ A đến B Quãng đường giữa hai điểm A(800; 500; 7) và B(940; 550; 8) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của A và B vào công thức: \[ AB = \sqrt{(940 - 800)^2 + (550 - 500)^2 + (8 - 7)^2} \] \[ AB = \sqrt{140^2 + 50^2 + 1^2} \] \[ AB = \sqrt{19600 + 2500 + 1} \] \[ AB = \sqrt{22101} \] \[ AB \approx 148.66 \text{ km} \] Vậy quãng đường di chuyển của máy bay từ A đến B là khoảng 149 km. Bước 2: Tính độ cao của máy bay tại vị trí A Độ cao của máy bay tại vị trí A là tọa độ z của điểm A, tức là 7 km. Bước 3: Xác định độ cao lớn nhất sau 10 phút tiếp theo Máy bay di chuyển với vận tốc không đổi và tạo với phương nằm ngang một góc \(30^\circ\). Độ cao tăng thêm mỗi phút là: \[ \Delta h = v \cdot \sin(30^\circ) \cdot t \] Trong đó, \(v\) là vận tốc của máy bay, \(t\) là thời gian (10 phút). Từ bước 1, ta biết rằng máy bay di chuyển 149 km trong 10 phút, vậy vận tốc của máy bay là: \[ v = \frac{149 \text{ km}}{10 \text{ phút}} = 14.9 \text{ km/phút} \] Do đó, độ cao tăng thêm mỗi phút là: \[ \Delta h = 14.9 \cdot \sin(30^\circ) \cdot 10 \] \[ \Delta h = 14.9 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \] \[ \Delta h = 14.9 \cdot 5 \] \[ \Delta h = 74.5 \text{ km} \] Sau 10 phút tiếp theo, độ cao của máy bay sẽ là: \[ h_{\text{max}} = 7 + 74.5 = 81.5 \text{ km} \] Bước 4: Tính tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar Sau 15 phút, máy bay sẽ di chuyển thêm một đoạn đường nữa. Ta tính quãng đường này: \[ s = v \cdot t = 14.9 \cdot 15 = 223.5 \text{ km} \] Phần chiều dài trên mặt phẳng nằm ngang (điều hướng) là: \[ s_x = s \cdot \cos(30^\circ) = 223.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 192.6 \text{ km} \] Phần chiều cao tăng thêm là: \[ s_z = s \cdot \sin(30^\circ) = 223.5 \cdot \frac{1}{2} = 111.75 \text{ km} \] Tọa độ mới của máy bay sau 15 phút là: \[ x_{\text{new}} = 940 + 192.6 = 1132.6 \text{ km} \] \[ y_{\text{new}} = 550 + 0 = 550 \text{ km} \] \[ z_{\text{new}} = 8 + 111.75 = 119.75 \text{ km} \] Vậy tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar là (1133; 550; 120). Kết luận - Quãng đường di chuyển của máy bay từ A đến B là 149 km. - Độ cao của máy bay tại vị trí A là 7 km. - Sau 10 phút tiếp theo, độ cao lớn nhất của máy bay là 81.5 km. - Tọa độ của máy bay sau 15 phút quan sát của Radar là (1133; 550; 120).