Giúp mình với!

Để tính giá trị của biểu thức \( I = 2\log_6[\log_5(5a)] + \log_{\frac{1}{9}}b^3 \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( a \) và \( b \) - Ta có \(\log_5 a = 5\). Điều này có nghĩa là \( a = 5^5 \). - Ta cũng có \(\log_3 b = \frac{2}{3}\). Điều này có nghĩa là \( b = 3^{\frac{2}{3}} \). 2. Tính giá trị của biểu thức \( \log_5(5a) \) - Thay \( a = 5^5 \) vào biểu thức \( \log_5(5a) \): \[ \log_5(5a) = \log_5(5 \cdot 5^5) = \log_5(5^6) = 6 \] 3. Tính giá trị của biểu thức \( 2\log_6[\log_5(5a)] \) - Thay \( \log_5(5a) = 6 \) vào biểu thức \( 2\log_6[\log_5(5a)] \): \[ 2\log_6[\log_5(5a)] = 2\log_6(6) = 2 \cdot 1 = 2 \] 4. Tính giá trị của biểu thức \( \log_{\frac{1}{9}}b^3 \) - Ta biết rằng \( b = 3^{\frac{2}{3}} \). Do đó: \[ b^3 = (3^{\frac{2}{3}})^3 = 3^2 = 9 \] - Thay \( b^3 = 9 \) vào biểu thức \( \log_{\frac{1}{9}}b^3 \): \[ \log_{\frac{1}{9}}9 = \log_{\frac{1}{9}}(\frac{1}{9})^{-1} = -1 \] 5. Tính giá trị của biểu thức \( I \) - Kết hợp các kết quả trên: \[ I = 2\log_6[\log_5(5a)] + \log_{\frac{1}{9}}b^3 = 2 + (-1) = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( I \) là \( 1 \). Câu 1: Để tính giá trị của biểu thức $\log_2(4a)$, ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Bước 1: Áp dụng tính chất logarit $\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$: \[ \log_2(4a) = \log_2(4) + \log_2(a) \] Bước 2: Ta biết rằng $\log_2(4) = \log_2(2^2)$. Áp dụng tính chất $\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)$: \[ \log_2(4) = \log_2(2^2) = 2 \cdot \log_2(2) \] Vì $\log_2(2) = 1$, nên: \[ \log_2(4) = 2 \cdot 1 = 2 \] Bước 3: Kết hợp lại các kết quả: \[ \log_2(4a) = 2 + \log_2(a) \] Vậy giá trị của biểu thức $\log_2(4a)$ là: \[ \boxed{2 + \log_2(a)} \] Câu 2: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \log_a b^3 + \log_{a^3} b^6 \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lôgarit để đơn giản hóa biểu thức này. Bước 1: Áp dụng tính chất lôgarit cơ bản \(\log_a b^n = n \log_a b\). \[ \log_a b^3 = 3 \log_a b \] \[ \log_{a^3} b^6 = 6 \log_{a^3} b \] Bước 2: Áp dụng tính chất lôgarit cơ bản \(\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b\). \[ \log_{a^3} b = \frac{1}{3} \log_a b \] Do đó, \[ \log_{a^3} b^6 = 6 \cdot \frac{1}{3} \log_a b = 2 \log_a b \] Bước 3: Thay các kết quả trên vào biểu thức ban đầu. \[ P = 3 \log_a b + 2 \log_a b \] Bước 4: Cộng các lôgarit lại với nhau. \[ P = (3 + 2) \log_a b = 5 \log_a b \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = 5 \log_a b \] Câu 3: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \log_2 8 + \log_{\sqrt{3}} 9 \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tính giá trị của \(\log_2 8\): \[ \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3 \] 2. Tính giá trị của \(\log_{\sqrt{3}} 9\): \[ \log_{\sqrt{3}} 9 = \log_{\sqrt{3}} (3^2) \] Ta biết rằng \(\sqrt{3} = 3^{1/2}\), do đó: \[ \log_{\sqrt{3}} (3^2) = \log_{3^{1/2}} (3^2) \] Áp dụng công thức đổi cơ số: \[ \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \] Ta có: \[ \log_{3^{1/2}} (3^2) = \frac{2}{1/2} \log_3 3 = 2 \times 2 = 4 \] 3. Cộng hai giá trị đã tính: \[ P = \log_2 8 + \log_{\sqrt{3}} 9 = 3 + 4 = 7 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = 7 \] Câu 4: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \log_a \left( \frac{a^3 \sqrt{c}}{b^2} \right) \), ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Trước tiên, ta viết biểu thức \( P \) dưới dạng tổng và hiệu của các logarit: \[ P = \log_a \left( \frac{a^3 \sqrt{c}}{b^2} \right) = \log_a (a^3) + \log_a (\sqrt{c}) - \log_a (b^2). \] Sau đó, ta sử dụng tính chất \( \log_a (x^n) = n \log_a (x) \): \[ \log_a (a^3) = 3 \log_a (a), \] \[ \log_a (\sqrt{c}) = \log_a (c^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_a (c), \] \[ \log_a (b^2) = 2 \log_a (b). \] Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = 3 \log_a (a) + \frac{1}{2} \log_a (c) - 2 \log_a (b). \] Ta biết rằng \( \log_a (a) = 1 \), do đó: \[ P = 3 \cdot 1 + \frac{1}{2} \log_a (c) - 2 \log_a (b). \] Thay giá trị \( \log_a (b) = 3 \) và \( \log_a (c) = -4 \) vào biểu thức trên: \[ P = 3 + \frac{1}{2} (-4) - 2 \cdot 3. \] Tính toán tiếp: \[ P = 3 + \frac{-4}{2} - 6, \] \[ P = 3 - 2 - 6, \] \[ P = -5. \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{-5}. \] Câu 5: Điều kiện: \(a > b > 1\). Ta có: \[ \frac{1}{\log_b a} + \frac{1}{\log_a b} = \sqrt{2022} \] Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có: \[ \log_b a = \frac{\log a}{\log b} \quad \text{và} \quad \log_a b = \frac{\log b}{\log a} \] Do đó: \[ \frac{1}{\log_b a} = \frac{\log b}{\log a} \quad \text{và} \quad \frac{1}{\log_a b} = \frac{\log a}{\log b} \] Thay vào phương trình ban đầu, ta có: \[ \frac{\log b}{\log a} + \frac{\log a}{\log b} = \sqrt{2022} \] Gọi \(x = \frac{\log a}{\log b}\). Khi đó: \[ \frac{1}{x} + x = \sqrt{2022} \] Nhân cả hai vế với \(x\): \[ 1 + x^2 = x \sqrt{2022} \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 - x \sqrt{2022} + 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{\sqrt{2022} \pm \sqrt{(\sqrt{2022})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{2022} \pm \sqrt{2022 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{2022} \pm \sqrt{2018}}{2} \] Vì \(a > b > 1\), ta chọn \(x = \frac{\sqrt{2022} + \sqrt{2018}}{2}\). Bây giờ, ta tính \(P\): \[ P = \frac{1}{\log_{ab} b} - \frac{1}{\log_{ab} a} \] Áp dụng công thức đổi cơ số: \[ \log_{ab} b = \frac{\log b}{\log ab} \quad \text{và} \quad \log_{ab} a = \frac{\log a}{\log ab} \] Do đó: \[ \frac{1}{\log_{ab} b} = \frac{\log ab}{\log b} \quad \text{và} \quad \frac{1}{\log_{ab} a} = \frac{\log ab}{\log a} \] Thay vào biểu thức \(P\): \[ P = \frac{\log ab}{\log b} - \frac{\log ab}{\log a} \] Tách \(\log ab\) thành \(\log a + \log b\): \[ P = \frac{\log a + \log b}{\log b} - \frac{\log a + \log b}{\log a} \] Rút gọn: \[ P = \left( \frac{\log a}{\log b} + 1 \right) - \left( 1 + \frac{\log b}{\log a} \right) \] \[ P = \frac{\log a}{\log b} - \frac{\log b}{\log a} \] Vì \(x = \frac{\log a}{\log b}\), ta có: \[ P = x - \frac{1}{x} \] Thay \(x = \frac{\sqrt{2022} + \sqrt{2018}}{2}\): \[ P = \frac{\sqrt{2022} + \sqrt{2018}}{2} - \frac{2}{\sqrt{2022} + \sqrt{2018}} \] Rationalize mẫu số: \[ P = \frac{\sqrt{2022} + \sqrt{2018}}{2} - \frac{2 (\sqrt{2022} - \sqrt{2018})}{(\sqrt{2022} + \sqrt{2018})(\sqrt{2022} - \sqrt{2018})} \] \[ P = \frac{\sqrt{2022} + \sqrt{2018}}{2} - \frac{2 (\sqrt{2022} - \sqrt{2018})}{2022 - 2018} \] \[ P = \frac{\sqrt{2022} + \sqrt{2018}}{2} - \frac{2 (\sqrt{2022} - \sqrt{2018})}{4} \] \[ P = \frac{\sqrt{2022} + \sqrt{2018}}{2} - \frac{\sqrt{2022} - \sqrt{2018}}{2} \] \[ P = \frac{\sqrt{2022} + \sqrt{2018} - \sqrt{2022} + \sqrt{2018}}{2} \] \[ P = \frac{2 \sqrt{2018}}{2} \] \[ P = \sqrt{2018} \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) là: \[ \boxed{\sqrt{2018}} \] Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit và phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định điều kiện: - \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \) - \( y > 0 \) và \( y \neq 1 \) Bước 2: Sử dụng tính chất logarit để chuyển đổi phương trình: \[ \log_2 x = \log_y 16 \] Bước 3: Áp dụng công thức đổi cơ sở logarit: \[ \log_y 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 y} \] Biết rằng \( \log_2 16 = 4 \), ta có: \[ \log_y 16 = \frac{4}{\log_2 y} \] Do đó: \[ \log_2 x = \frac{4}{\log_2 y} \] Bước 4: Đặt \( \log_2 x = a \) và \( \log_2 y = b \). Ta có: \[ a = \frac{4}{b} \] Bước 5: Biến đổi phương trình \( xy = 64 \): \[ 2^a \cdot 2^b = 64 \] \[ 2^{a + b} = 2^6 \] Từ đây suy ra: \[ a + b = 6 \] Bước 6: Thay \( a = \frac{4}{b} \) vào phương trình \( a + b = 6 \): \[ \frac{4}{b} + b = 6 \] Nhân cả hai vế với \( b \): \[ 4 + b^2 = 6b \] \[ b^2 - 6b + 4 = 0 \] Bước 7: Giải phương trình bậc hai: \[ b = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} \] \[ b = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} \] \[ b = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} \] \[ b = 3 \pm \sqrt{5} \] Bước 8: Tìm \( a \): - Nếu \( b = 3 + \sqrt{5} \), thì \( a = \frac{4}{3 + \sqrt{5}} \) - Nếu \( b = 3 - \sqrt{5} \), thì \( a = \frac{4}{3 - \sqrt{5}} \) Bước 9: Tính giá trị của \( x \) và \( y \): - \( x = 2^a \) - \( y = 2^b \) Bước 10: Kết luận: Giá trị của \( x \) và \( y \) là: \[ x = 2^{\frac{4}{3 + \sqrt{5}}} \quad \text{và} \quad y = 2^{3 + \sqrt{5}} \] \[ x = 2^{\frac{4}{3 - \sqrt{5}}} \quad \text{và} \quad y = 2^{3 - \sqrt{5}} \] Đáp số: \( x = 2^{\frac{4}{3 + \sqrt{5}}} \) và \( y = 2^{3 + \sqrt{5}} \) hoặc \( x = 2^{\frac{4}{3 - \sqrt{5}}} \) và \( y = 2^{3 - \sqrt{5}} \).