Trả lời đúng sai

Câu 5. Để giải quyết các tích phân trong câu hỏi, chúng ta sẽ tính từng tích phân một cách chi tiết. a) Tính $\int^2_{-1} f'(x) dx$ Ta biết rằng $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$, do đó đạo hàm của nó là: \[ f'(x) = 6x - 2 \] Tích phân của $f'(x)$ từ $-1$ đến $2$ là: \[ \int^2_{-1} f'(x) dx = \int^2_{-1} (6x - 2) dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int^2_{-1} 6x dx - \int^2_{-1} 2 dx \] \[ = 6 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_{-1} - 2 \left[ x \right]^2_{-1} \] \[ = 6 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} \right) - 2 \left( 2 - (-1) \right) \] \[ = 6 \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) - 2 \left( 2 + 1 \right) \] \[ = 6 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) - 2 \times 3 \] \[ = 6 \left( \frac{3}{2} \right) - 6 \] \[ = 9 - 6 \] \[ = 3 \] Vậy $\int^2_{-1} f'(x) dx = 3$. Đáp án đúng là a). b) Tính $\int^1_0 f(x) dx$ \[ \int^1_0 f(x) dx = \int^1_0 (3x^2 - 2x + 5) dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int^1_0 3x^2 dx - \int^1_0 2x dx + \int^1_0 5 dx \] \[ = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 - 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 + 5 \left[ x \right]^1_0 \] \[ = 3 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) - 2 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) + 5 \left( 1 - 0 \right) \] \[ = 3 \left( \frac{1}{3} \right) - 2 \left( \frac{1}{2} \right) + 5 \] \[ = 1 - 1 + 5 \] \[ = 5 \] Vậy $\int^1_0 f(x) dx = 5$. Đáp án b) sai. c) Tính $\int^2_0 3f(x) dx$ \[ \int^2_0 3f(x) dx = 3 \int^2_0 f(x) dx \] \[ = 3 \int^2_0 (3x^2 - 2x + 5) dx \] Tính tích phân từng phần: \[ 3 \left( \int^2_0 3x^2 dx - \int^2_0 2x dx + \int^2_0 5 dx \right) \] \[ = 3 \left( 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_0 - 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_0 + 5 \left[ x \right]^2_0 \right) \] \[ = 3 \left( 3 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) - 2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) + 5 \left( 2 - 0 \right) \right) \] \[ = 3 \left( 3 \left( \frac{8}{3} \right) - 2 \left( 2 \right) + 5 \left( 2 \right) \right) \] \[ = 3 \left( 8 - 4 + 10 \right) \] \[ = 3 \left( 14 \right) \] \[ = 42 \] Vậy $\int^2_0 3f(x) dx = 42$. Đáp án c) đúng. d) Tính $\int^1_0 xf(x) dx$ \[ \int^1_0 xf(x) dx = \int^1_0 x(3x^2 - 2x + 5) dx \] \[ = \int^1_0 (3x^3 - 2x^2 + 5x) dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int^1_0 3x^3 dx - \int^1_0 2x^2 dx + \int^1_0 5x dx \] \[ = 3 \left[ \frac{x^4}{4} \right]^1_0 - 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 + 5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^1_0 \] \[ = 3 \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) - 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) + 5 \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ = 3 \left( \frac{1}{4} \right) - 2 \left( \frac{1}{3} \right) + 5 \left( \frac{1}{2} \right) \] \[ = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} + \frac{5}{2} \] Quy đồng mẫu số: \[ = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} + \frac{30}{12} \] \[ = \frac{9 - 8 + 30}{12} \] \[ = \frac{31}{12} \] Vậy $\int^1_0 xf(x) dx = \frac{31}{12}$. Đáp án d) đúng. Kết luận: Đáp án đúng là a) và c) và d). Câu 6. Để giải quyết các câu hỏi về tích phân của các hàm số đã cho, chúng ta sẽ tính từng tích phân theo từng bước. a) Tính $\int^{\ln 2}_0 g(x) \, dx$: \[ g(x) = 2e^x - 3 \] \[ \int^{\ln 2}_0 g(x) \, dx = \int^{\ln 2}_0 (2e^x - 3) \, dx \] Tách tích phân thành hai phần: \[ = \int^{\ln 2}_0 2e^x \, dx - \int^{\ln 2}_0 3 \, dx \] Tính từng phần: \[ = 2 \int^{\ln 2}_0 e^x \, dx - 3 \int^{\ln 2}_0 1 \, dx \] \[ = 2 [e^x]_0^{\ln 2} - 3 [x]_0^{\ln 2} \] \[ = 2 (e^{\ln 2} - e^0) - 3 (\ln 2 - 0) \] \[ = 2 (2 - 1) - 3 \ln 2 \] \[ = 2 - 3 \ln 2 \] Vậy, $\int^{\ln 2}_0 g(x) \, dx = 2 - 3 \ln 2$. Đáp án đúng. b) Tính $2 \int^2_0 f(x) \, dx$ và $\int^2_0 g(x) \, dx$: \[ f(x) = e^x \] \[ 2 \int^2_0 f(x) \, dx = 2 \int^2_0 e^x \, dx \] \[ = 2 [e^x]_0^2 \] \[ = 2 (e^2 - e^0) \] \[ = 2 (e^2 - 1) \] \[ = 2e^2 - 2 \] Bây giờ tính $\int^2_0 g(x) \, dx$: \[ g(x) = 2e^x - 3 \] \[ \int^2_0 g(x) \, dx = \int^2_0 (2e^x - 3) \, dx \] \[ = 2 \int^2_0 e^x \, dx - 3 \int^2_0 1 \, dx \] \[ = 2 [e^x]_0^2 - 3 [x]_0^2 \] \[ = 2 (e^2 - e^0) - 3 (2 - 0) \] \[ = 2 (e^2 - 1) - 6 \] \[ = 2e^2 - 2 - 6 \] \[ = 2e^2 - 8 \] Kiểm tra: \[ 2 \int^2_0 f(x) \, dx = 2e^2 - 2 \] \[ 3 + \int^2_0 g(x) \, dx = 3 + (2e^2 - 8) = 2e^2 - 5 \] Vậy, $2 \int^2_0 f(x) \, dx \neq 3 + \int^2_0 g(x) \, dx$. Đáp án sai. c) Tính $\int^7_2 [2f(x) - g(x)] \, dx$: \[ 2f(x) - g(x) = 2e^x - (2e^x - 3) = 3 \] \[ \int^7_2 [2f(x) - g(x)] \, dx = \int^7_2 3 \, dx \] \[ = 3 [x]_2^7 \] \[ = 3 (7 - 2) \] \[ = 3 \times 5 \] \[ = 15 \] Vậy, $\int^7_2 [2f(x) - g(x)] \, dx = 15$. Đáp án sai. d) Tính $\int^1_0 f(x) \cdot g(x) \, dx$: \[ f(x) \cdot g(x) = e^x \cdot (2e^x - 3) = 2e^{2x} - 3e^x \] \[ \int^1_0 f(x) \cdot g(x) \, dx = \int^1_0 (2e^{2x} - 3e^x) \, dx \] \[ = 2 \int^1_0 e^{2x} \, dx - 3 \int^1_0 e^x \, dx \] Tính từng phần: \[ = 2 \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_0^1 - 3 [e^x]_0^1 \] \[ = [e^{2x}]_0^1 - 3 [e^x]_0^1 \] \[ = (e^2 - e^0) - 3 (e^1 - e^0) \] \[ = (e^2 - 1) - 3 (e - 1) \] \[ = e^2 - 1 - 3e + 3 \] \[ = e^2 - 3e + 2 \] So sánh với $a e^2 + b e + c$, ta có: \[ a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2 \] \[ a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 \] Vậy, $a + b + c = 0$. Đáp án đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 7. Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ tính từng tích phân theo từng bước. Câu a) Tính $\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ Trước tiên, ta biết rằng đạo hàm của $f(x) = x \sin x$ là: \[ f'(x) = \sin x + x \cos x \] Do đó: \[ 2 f'(x) = 2 (\sin x + x \cos x) \] Tích phân: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 f'(x) \, \mathrm{d} x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 (\sin x + x \cos x) \, \mathrm{d} x \] Chia thành hai tích phân riêng biệt: \[ = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, \mathrm{d} x + 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, \mathrm{d} x \] Tính từng tích phân: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, \mathrm{d} x = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \] Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, \mathrm{d} x$: \[ u = x, \quad dv = \cos x \, \mathrm{d} x \] \[ du = \mathrm{d} x, \quad v = \sin x \] Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ \int x \cos x \, \mathrm{d} x = x \sin x - \int \sin x \, \mathrm{d} x = x \sin x + \cos x \] Đánh giá từ 0 đến $\frac{\pi}{2}$: \[ \left[ x \sin x + \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 \right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 \] Vậy: \[ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, \mathrm{d} x = 2 \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = \pi - 2 \] Tổng lại: \[ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, \mathrm{d} x + 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, \mathrm{d} x = 2 \cdot 1 + 2 \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = 2 + \pi - 2 = \pi \] Vậy: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 f'(x) \, \mathrm{d} x = \pi \] Câu b) Tính $\int_0^{\frac{\pi}{2}} [f'(x) - \sin x] \, \mathrm{d} x$ Ta đã biết: \[ f'(x) = \sin x + x \cos x \] Do đó: \[ f'(x) - \sin x = x \cos x \] Tích phân: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, \mathrm{d} x \] Chúng ta đã tính ở trên: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2} - 1 \] Vậy: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} [f'(x) - \sin x] \, \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2} - 1 \] Câu c) Tính $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sin x} \, \mathrm{d} x$ Ta biết: \[ f(x) = x \sin x \] Do đó: \[ \frac{f(x)}{\sin x} = x \] Tích phân: \[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} x \, \mathrm{d} x = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}{2} - \frac{\left( \frac{\pi}{3} \right)^2}{2} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{18} = \frac{9\pi^2 - 4\pi^2}{72} = \frac{5\pi^2}{72} \] Câu d) Tính $\int_{\frac{3}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{[f(x)]^2} \, \mathrm{d} x$ Ta biết: \[ f(x) = x \sin x \] Do đó: \[ [f(x)]^2 = x^2 \sin^2 x \] Tích phân: \[ \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{x^2 \sin^2 x} \, \mathrm{d} x = \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} \, \mathrm{d} x = \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \csc^2 x \, \mathrm{d} x \] Biết rằng: \[ \int \csc^2 x \, \mathrm{d} x = -\cot x \] Đánh giá từ $\frac{3}{4}$ đến $\frac{\pi}{2}$: \[ \left[ -\cot x \right]_{\frac{3}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cot \left( \frac{\pi}{2} \right) + \cot \left( \frac{3}{4} \right) = 0 + \cot \left( \frac{3}{4} \right) \] Vì $\cot \left( \frac{3}{4} \right)$ không đơn giản hóa được dễ dàng, nên ta không thể kết luận rằng tích phân này bằng 1. Kết luận - Đáp án đúng là: a) $\pi$, b) $\frac{\pi}{2} - 1$, c) $\frac{5\pi^2}{72}$, d) không chắc chắn. Câu 8. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính từng tích phân theo từng lựa chọn đã cho và kiểm tra xem kết quả nào đúng. Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(x) \) Hàm số \( f(x) = \frac{1 - 3\sqrt{x}}{x} \). Tính đạo hàm: \[ f'(x) = \left( \frac{1 - 3\sqrt{x}}{x} \right)' \] Áp dụng quy tắc thương: \[ f'(x) = \frac{(1 - 3\sqrt{x})' \cdot x - (1 - 3\sqrt{x}) \cdot x'}{x^2} \] \[ f'(x) = \frac{\left( -\frac{3}{2\sqrt{x}} \right) \cdot x - (1 - 3\sqrt{x}) \cdot 1}{x^2} \] \[ f'(x) = \frac{-\frac{3x}{2\sqrt{x}} - 1 + 3\sqrt{x}}{x^2} \] \[ f'(x) = \frac{-\frac{3\sqrt{x}}{2} - 1 + 3\sqrt{x}}{x^2} \] \[ f'(x) = \frac{\frac{3\sqrt{x}}{2} - 1}{x^2} \] Bước 2: Tính \(\int_{1}^{4} f'(x) \, dx\) \[ \int_{1}^{4} f'(x) \, dx = \left[ f(x) \right]_{1}^{4} \] \[ = f(4) - f(1) \] \[ f(4) = \frac{1 - 3\sqrt{4}}{4} = \frac{1 - 6}{4} = -\frac{5}{4} \] \[ f(1) = \frac{1 - 3\sqrt{1}}{1} = \frac{1 - 3}{1} = -2 \] \[ \int_{1}^{4} f'(x) \, dx = -\frac{5}{4} - (-2) = -\frac{5}{4} + 2 = \frac{3}{4} \] Bước 3: Tính \(\int_{1}^{4} f(x) \, dx\) \[ \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} \frac{1 - 3\sqrt{x}}{x} \, dx \] \[ = \int_{1}^{4} \left( \frac{1}{x} - \frac{3\sqrt{x}}{x} \right) \, dx \] \[ = \int_{1}^{4} \left( \frac{1}{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} \right) \, dx \] \[ = \left[ \ln|x| - 6\sqrt{x} \right]_{1}^{4} \] \[ = (\ln 4 - 6\sqrt{4}) - (\ln 1 - 6\sqrt{1}) \] \[ = \ln 4 - 12 - 0 + 6 \] \[ = \ln 4 - 6 \] Bước 4: Tính \(\int_{1}^{4} x f(x) \, dx\) \[ \int_{1}^{4} x f(x) \, dx = \int_{1}^{4} x \left( \frac{1 - 3\sqrt{x}}{x} \right) \, dx \] \[ = \int_{1}^{4} (1 - 3\sqrt{x}) \, dx \] \[ = \int_{1}^{4} 1 \, dx - 3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx \] \[ = [x]_{1}^{4} - 3 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4} \] \[ = (4 - 1) - 2 \left( 4^{3/2} - 1^{3/2} \right) \] \[ = 3 - 2 \left( 8 - 1 \right) \] \[ = 3 - 2 \times 7 \] \[ = 3 - 14 \] \[ = -11 \] Bước 5: Tính \(\int_{1}^{4} [f'(x) + 2x f(x)] \, dx\) \[ \int_{1}^{4} [f'(x) + 2x f(x)] \, dx = \int_{1}^{4} f'(x) \, dx + \int_{1}^{4} 2x f(x) \, dx \] \[ = \frac{3}{4} + 2 \int_{1}^{4} x f(x) \, dx \] \[ = \frac{3}{4} + 2(-11) \] \[ = \frac{3}{4} - 22 \] \[ = \frac{3}{4} - \frac{88}{4} \] \[ = -\frac{85}{4} \] Kết luận Các lựa chọn: a) \(\int_{1}^{4} f'(x) \, dx = \frac{3}{4}\) - Đúng. b) \(\int_{1}^{4} f(x) \, dx = -6 + \ln 4\) - Đúng. c) \(\int_{1}^{4} x f(x) \, dx = 11\) - Sai. d) \(\int_{1}^{4} [f'(x) + 2x f(x)] \, dx = \frac{91}{4}\) - Sai. Vậy đáp án đúng là: a) \(\int_{1}^{4} f'(x) \, dx = \frac{3}{4}\) b) \(\int_{1}^{4} f(x) \, dx = -6 + \ln 4\) Câu 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định vận tốc của ô tô sau 12 giây Vận tốc ban đầu của ô tô là 0 m/s và gia tốc là \( \gamma_1(t) = 2t \). Sau 12 giây, vận tốc của ô tô là: \[ v_1 = \gamma_1(12) = 2 \times 12 = 24 \text{ m/s} \] Bước 2: Xác định quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều trong 12 giây được tính bằng công thức: \[ s_1 = \frac{1}{2} \times \gamma_1 \times t^2 \] \[ s_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 12^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 144 = 144 \text{ m} \] Bước 3: Xác định thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn Khi phanh gấp, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc \( a = -8 \text{ m/s}^2 \). Vận tốc ban đầu khi bắt đầu phanh là 24 m/s. Thời gian để ô tô dừng hẳn được tính bằng công thức: \[ t_2 = \frac{v_1}{|a|} = \frac{24}{8} = 3 \text{ giây} \] Bước 4: Xác định quãng đường ô tô chuyển động chậm dần đều Quãng đường ô tô chuyển động chậm dần đều được tính bằng công thức: \[ s_2 = \frac{v_1^2}{2|a|} = \frac{24^2}{2 \times 8} = \frac{576}{16} = 36 \text{ m} \] Bước 5: Xác định tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn Tổng quãng đường ô tô chuyển động là: \[ s_{\text{tổng}} = s_1 + s_2 = 144 + 36 = 180 \text{ m} \] Kết luận - Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều là 144 m. - Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp là 24 m/s. - Thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là 3 giây. - Tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn là 180 m. Do đó, đáp án đúng là: a) Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều là 144 m. b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp là 24 m/s. c) Thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là 3 giây. d) Tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn là 180 m.