.....................

Câu 2 a) Rút gọn biểu thức \( P \): Điều kiện xác định: \( x > 0; x \neq 1 \). Ta có: \[ P = \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - 1} - \frac{5x - 5\sqrt{x} - 10}{\sqrt{x} + 1} \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức riêng lẻ trước. Phân thức đầu tiên: \[ \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - 1} \] Phân thức thứ hai: \[ \frac{5x - 5\sqrt{x} - 10}{\sqrt{x} + 1} \] Chúng ta thấy rằng \( x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) \). Do đó: \[ \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{x\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] Tương tự: \[ \frac{5x - 5\sqrt{x} - 10}{\sqrt{x} + 1} = \frac{5(x - \sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 1} \] Bây giờ chúng ta sẽ tìm cách rút gọn biểu thức này. Ta nhận thấy rằng: \[ x\sqrt{x} - 1 = (\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x} - 1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + 1) \] Do đó: \[ \frac{x\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{(\sqrt{x} - 1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} \] Còn: \[ \frac{5(x - \sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 1} = \frac{5((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 1} \] Như vậy: \[ P = \frac{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{5((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 1} \] Rút gọn chung mẫu số: \[ P = \frac{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + 1 - 5((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 1} \] \[ P = \frac{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + 1 - 5(\sqrt{x})^2 + 5\sqrt{x} + 10}{\sqrt{x} + 1} \] \[ P = \frac{-4(\sqrt{x})^2 + 6\sqrt{x} + 11}{\sqrt{x} + 1} \] b) Tìm giá trị của \( x \) để \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần xét biểu thức \( P \) dưới dạng \( f(t) \) với \( t = \sqrt{x} \). \[ P = \frac{-4t^2 + 6t + 11}{t + 1} \] Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(t) \) bằng cách sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức. Khảo sát hàm số \( f(t) = \frac{-4t^2 + 6t + 11}{t + 1} \): Đạo hàm của \( f(t) \): \[ f'(t) = \frac{(-8t + 6)(t + 1) - (-4t^2 + 6t + 11)}{(t + 1)^2} \] \[ f'(t) = \frac{-8t^2 - 8t + 6t + 6 + 4t^2 - 6t - 11}{(t + 1)^2} \] \[ f'(t) = \frac{-4t^2 - 8t - 5}{(t + 1)^2} \] Đặt \( f'(t) = 0 \): \[ -4t^2 - 8t - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(-4)(-5)}}{2(-4)} \] \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 80}}{-8} \] \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{-16}}{-8} \] Vì phương trình này vô nghiệm thực, ta cần kiểm tra các giới hạn và điểm đặc biệt của hàm số. Khi \( t \to \infty \), \( f(t) \to -4 \). Khi \( t \to -1 \), \( f(t) \to \infty \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -4 \), đạt được khi \( t \to \infty \). Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -4 \), đạt được khi \( x \to \infty \). Đáp số: a) \( P = \frac{-4t^2 + 6t + 11}{t + 1} \) b) Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -4 \), đạt được khi \( x \to \infty \).