Giúp mình với!

Bài 13. Để phương trình $x^2 - 2(k-1)x - 4k = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta > 0$. Tính $\Delta$: \[ \Delta = [2(k-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4k) = 4(k-1)^2 + 16k = 4(k^2 - 2k + 1 + 4k) = 4(k^2 + 2k + 1) = 4(k+1)^2 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ 4(k+1)^2 > 0 \implies (k+1)^2 > 0 \implies k \neq -1 \] Tiếp theo, ta sử dụng hệ thức Viète: \[ x_1 + x_2 = 2(k-1) \] \[ x_1 x_2 = -4k \] Theo đề bài, ta có: \[ 3x_1 - x_2 = 2 \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2(k-1) \\ 3x_1 - x_2 = 2 \end{cases} \] Cộng hai phương trình này lại: \[ (x_1 + x_2) + (3x_1 - x_2) = 2(k-1) + 2 \] \[ 4x_1 = 2k \] \[ x_1 = \frac{k}{2} \] Thay $x_1 = \frac{k}{2}$ vào phương trình $3x_1 - x_2 = 2$: \[ 3 \left( \frac{k}{2} \right) - x_2 = 2 \] \[ \frac{3k}{2} - x_2 = 2 \] \[ x_2 = \frac{3k}{2} - 2 \] Thay $x_1$ và $x_2$ vào phương trình $x_1 x_2 = -4k$: \[ \left( \frac{k}{2} \right) \left( \frac{3k}{2} - 2 \right) = -4k \] \[ \frac{k(3k - 4)}{4} = -4k \] \[ k(3k - 4) = -16k \] \[ 3k^2 - 4k = -16k \] \[ 3k^2 + 12k = 0 \] \[ 3k(k + 4) = 0 \] Vậy $k = 0$ hoặc $k = -4$. Kiểm tra điều kiện $k \neq -1$: - $k = 0$ thỏa mãn. - $k = -4$ thỏa mãn. Vậy các giá trị của $k$ là $k = 0$ hoặc $k = -4$. Bài 14. Để phương trình \(x^2 - 4x - m^2 - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_2 = -5x_1\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: Phương trình \(x^2 - 4x - m^2 - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m^2 - 1) > 0 \] \[ 16 + 4(m^2 + 1) > 0 \] \[ 16 + 4m^2 + 4 > 0 \] \[ 4m^2 + 20 > 0 \] Điều này luôn đúng với mọi \(m\), do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2. Áp dụng hệ thức Viète: Theo hệ thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 4 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -m^2 - 1 \] 3. Thay \(x_2 = -5x_1\) vào hệ thức Viète: \[ x_1 + (-5x_1) = 4 \] \[ -4x_1 = 4 \] \[ x_1 = -1 \] Do đó: \[ x_2 = -5(-1) = 5 \] 4. Tìm \(m\) từ \(x_1 \cdot x_2 = -m^2 - 1\): \[ (-1) \cdot 5 = -m^2 - 1 \] \[ -5 = -m^2 - 1 \] \[ -5 + 1 = -m^2 \] \[ -4 = -m^2 \] \[ m^2 = 4 \] \[ m = \pm 2 \] Vậy, giá trị của \(m\) để phương trình \(x^2 - 4x - m^2 - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_2 = -5x_1\) là \(m = 2\) hoặc \(m = -2\). Bài 15. Để phương trình \(x^2 - 6x + m + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn \(x_2 = x_1^2\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: Phương trình \(x^2 - 6x + m + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 3) > 0 \] \[ 36 - 4(m + 3) > 0 \] \[ 36 - 4m - 12 > 0 \] \[ 24 - 4m > 0 \] \[ 4m < 24 \] \[ m < 6 \] 2. Áp dụng điều kiện \(x_2 = x_1^2\): Giả sử \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình, ta có: \[ x_1 + x_2 = 6 \quad \text{(tổng các nghiệm)} \] \[ x_1 \cdot x_2 = m + 3 \quad \text{(tích các nghiệm)} \] Thay \(x_2 = x_1^2\) vào tổng các nghiệm: \[ x_1 + x_1^2 = 6 \] \[ x_1^2 + x_1 - 6 = 0 \] Giải phương trình này: \[ (x_1 + 3)(x_1 - 2) = 0 \] Suy ra: \[ x_1 = -3 \quad \text{hoặc} \quad x_1 = 2 \] 3. Xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: \(x_1 = -3\) \[ x_2 = (-3)^2 = 9 \] Tích các nghiệm: \[ x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot 9 = -27 \] Do đó: \[ m + 3 = -27 \] \[ m = -30 \] Kiểm tra điều kiện \(m < 6\): \[ -30 < 6 \quad \text{(thỏa mãn)} \] - Trường hợp 2: \(x_1 = 2\) \[ x_2 = 2^2 = 4 \] Tích các nghiệm: \[ x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 4 = 8 \] Do đó: \[ m + 3 = 8 \] \[ m = 5 \] Kiểm tra điều kiện \(m < 6\): \[ 5 < 6 \quad \text{(thỏa mãn)} \] Vậy, các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu của đề bài là \(m = -30\) hoặc \(m = 5\). Bài 16. Để lập hệ thức liên hệ giữa $x_1$ và $x_2$ sao cho chúng độc lập với $m$, ta sẽ sử dụng hệ thức Viète cho phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai đã cho là: \[ x^2 - (m+2)x + (2m-1) = 0 \] Theo hệ thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = m + 2 \] \[ x_1 x_2 = 2m - 1 \] Bây giờ, ta sẽ tìm một biểu thức liên hệ giữa $x_1$ và $x_2$ mà không phụ thuộc vào $m$. Ta có thể làm như sau: Từ phương trình $x_1 + x_2 = m + 2$, ta có: \[ m = x_1 + x_2 - 2 \] Thay $m$ này vào phương trình $x_1 x_2 = 2m - 1$, ta được: \[ x_1 x_2 = 2(x_1 + x_2 - 2) - 1 \] \[ x_1 x_2 = 2x_1 + 2x_2 - 4 - 1 \] \[ x_1 x_2 = 2x_1 + 2x_2 - 5 \] Như vậy, ta đã lập được hệ thức liên hệ giữa $x_1$ và $x_2$ mà không phụ thuộc vào $m$: \[ x_1 x_2 = 2x_1 + 2x_2 - 5 \] Đáp số: $x_1 x_2 = 2x_1 + 2x_2 - 5$ Bài 17. Để phương trình $x^2 - 5x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện của phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, tức là: \[ \Delta > 0 \] Trong đó $\Delta$ là biệt thức của phương trình bậc hai, được tính theo công thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Áp dụng vào phương trình $x^2 - 5x + m - 1 = 0$, ta có: \[ a = 1, \quad b = -5, \quad c = m - 1 \] Tính biệt thức $\Delta$: \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) \] \[ \Delta = 25 - 4(m - 1) \] \[ \Delta = 25 - 4m + 4 \] \[ \Delta = 29 - 4m \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ 29 - 4m > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 29 > 4m \] \[ m < \frac{29}{4} \] \[ m < 7.25 \] Vậy, để phương trình $x^2 - 5x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt, giá trị của $m$ phải thỏa mãn: \[ m < 7.25 \] Đáp số: $m < 7.25$.